Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 7
50
3
22
2
2
2
,2, 2,2.
3
dy y
ydy dx ydy dx x C
dx
y


Найдём С
2
из начальных условий:
2
1
3
С , следовательно, частное решение
заданного уравнения имеет вид:
3
1
2
33
y
x
, или
3
61yx
.
371-380. Найти общее решение линейного однородного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами
а)
20yy


; б)
96 0yyy


; в)
12 37 0yyy


.
Решение.
Заданные уравнения являются линейными однородными
дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффи-
циентами, вида
0ypyqy


. Корнями его характеристического уравне-
ния
2
0kpkq могут быть:
1) действительные, различные числа
12
kk
;
2) действительные, равные числа
12
kk
;
3) комплексно-сопряжённые числа
1, 2
ki
 .
Им соответствуют следующие общие решения уравнения:
1)
12
12
kx k x
yCe Ce;
2)
1
12
()
kx
ye C Cx;
3)
12
(cos sin)
x
ye C xC x
, где
12
,CC
– произвольные постоянные.
Для заданных уравнений составляем характеристические уравнения, нахо-
дим их корни и записываем общие решения.
а)
20yy


. Характеристическое уравнение :
2
20kk
, его корни
12
0, 2kk
– действительные различные числа, поэтому общее решение
уравнения имеет вид:
02
12
,
x
yCe Ce или
2
12
x
yC Ce .
б)
96 0yyy


. Характеристическое уравнение :
2
9610, 0kk D , следовательно, корни
12
61
18 3
kk
 действитель-
ные равные числа, поэтому общее решение уравнения имеет вид:
(1 3)
12
()
x
ye C Cx или
3
12
()
х
yeC Cx
. 
ПГУ                                                    Каф ВиПМ
                                    Контрольная работа № 7

dy 2                                                   y3
      ,       y 2 dy  2dx,      2
                                y dy  2 dx,             2 x  C2 .
dx y 2                                                 3
                                              1
Найдём С2 из начальных условий:                  С2 , следовательно, частное решение
                                              3
                               y3        1
заданного уравнения имеет вид:     2 x  , или y  3 6 x  1 .
                               3         3
     371-380. Найти общее решение линейного однородного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами
      а) y   2 y   0 ;    б) 9 y   6 y   y  0 ;   в) y   12 y   37 y  0 .
     Р е ш е н и е . Заданные уравнения являются линейными однородными
дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффи-
циентами, вида y   py   qy  0 . Корнями его характеристического уравне-
ния k 2  pk  q  0 могут быть:
        1) действительные, различные числа k1  k2 ;
        2) действительные, равные числа k1  k2 ;
        3) комплексно-сопряжённые числа k1,2    i .
Им соответствуют следующие общие решения уравнения:
       1) y  C1ek1 x  C2 ek2 x ;
       2) y  ek1 x (C1  C2 x) ;
       3) y  ex (C1 cos x  C2 sin x) , где C1 , C2 – произвольные постоянные.
 Для заданных уравнений составляем характеристические уравнения, нахо-
дим их корни и записываем общие решения.
       а) y   2 y   0 . Характеристическое уравнение : k 2  2k  0 , его корни
k1  0, k2  2 – действительные различные числа, поэтому общее решение
уравнения имеет вид: y  C1e0  C2 e2 x , или y  C1  C2 e2 x .
       б) 9 y   6 y   y  0 . Характеристическое уравнение :
                                                               6 1
9k 2  6k  1  0, D  0 , следовательно, корни k1  k2   действитель-
                                                              18 3
ные равные числа, поэтому общее решение уравнения имеет вид:
                                   х
y  e(1 3) x (C1  C2 x) или y  e 3 (C1  C2 x) .



                                                  50

Страницы