Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 7
51
в)
12 37 0yyy


. Характеристическое уравнение:
2
12 37 0, 144 4 37 4, 4 2kk D D i , следовательно, кор-
ни - комплексно-сопряжённые числа
1, 2
12 2
6
2
i
ki

, где
6, 1 , поэтому общее решение уравнения имеет вид:
6
12
(cos sin)
x
ye C xC x
.
381-390. Найти общее решение линейного неоднородного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами (см. примеры 13-16).
391-400. Найти общее решение системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами (см. пример 17).
401-410. Решить задачу.
Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0; 2), если из-
вестно, что угловой коэффициент касательной в любой её точке равняется
утроенной ординате этой точки.
Решение.
Угловой коэффициент касатель-
ной к кривой равен
()к tg y x

. По условию
задачи
() 3yx y
(рис. 2). Получили диффе-
ренциальное уравнение первого порядка с раз-
деляющимися переменными. Решаем его:
3, 3, 3,
dy dy dy
ydx dx
dx y y

ln 3yxC.
Искомая кривая проходит через точку А(0; 2),
поэтому ln 2 0 C
, следовательно,
ln 2, ln 3 ln 2,Cyx

3ln2 3
2.
x
ye e

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид
3
2
x
ye .
х
y
2
х
Рис. 2 
ПГУ                                                       Каф ВиПМ
                                       Контрольная работа № 7

       в) y   12 y   37 y  0 .     Характеристическое уравнение:
k 2  12k  37  0, D  144  4  37  4,
                                        D  4  2i , следовательно, кор-
                                         12  2i
ни - комплексно-сопряжённые числа k1,2            6  i , где
                                            2
  6,   1 , поэтому общее решение уравнения имеет вид:
y  e6 x (C1 cos x  C2 sin x) .

      381-390. Найти общее решение линейного неоднородного дифференци-
ального уравнения с постоянными коэффициентами (см. примеры 13-16).
    391-400. Найти общее решение системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами (см. пример 17).

401-410. Решить задачу.
     Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(0; 2), если из-
вестно, что угловой коэффициент касательной в любой её точке равняется
                           утроенной ординате этой точки.
                           Решение.         Угловой коэффициент касатель-
       y                   ной к кривой равен к  tg   y ( x) . По условию
        2                  задачи y ( x )  3 y (рис. 2). Получили диффе-
                           ренциальное уравнение первого порядка с раз-
                          деляющимися переменными. Решаем его:
           х                dy        dy          dy
                                3 y,     3dx,    3dx, ln y  3x  C .
         Рис. 2             dx         y           y
                                         Искомая кривая проходит через точку А(0; 2),
поэтому            ln 2  0  C ,         следовательно,     C  ln 2, ln y  3 x  ln 2,
y  e3 x  ln 2  2e3 x .
Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид y  2e3 x .




                                                51

Страницы