Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 54 стр.

ПГУ                                                Каф ВиПМ
                  Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

ностная плотность материальной пластины, занимающей область D ,
то масса этой пластины определяется по формуле
                                       m   ( x, y )dS
                                            D
      В этом заключается физический смысл двойного интеграла.
      3. Если f ( x, y )  0 в области            z
D , то двойной интеграл (12.19)
численно равен объему V ци-                                      z  f ( x, y )
линдрического тела, находяще-
гося над плоскостью Oxy , ниж-
ним основанием которого является
область D , верхним — часть по-
                                                 O                    y
верхности z  f ( x, y ) , проекти-
рующаяся в D , а боковая поверх-                            D
ность — цилиндрическая, причем                                  C
ее прямолинейные образующие па-
раллельны оси Oz и проходят че-          x
                                                       Рис. 4
рез границу C области D (рис. 4).
      Это свойство выражает геометрический смысл двойного интеграла.
      4. Если функции f1 ( x, y ), f 2 ( x, y ) непрерывны в области D то
верна формула
                  f1( x, y)  f2 ( x, y)  dS   f1 ( x, y)dS   f2 ( x, y)dS .
                D                                    D                   D
     5. Постоянный множитель k подынтегральной функции можно вы
носить за знак двойного интеграла:
                                k  f ( x, y)dS  k  f ( x, y)dS .
                               D                         D
     6. Если область D разбить на конечное число областей D1, D2 ,..., Dk ,
не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области D равен сум-
ме интегралов по областям Dk :

        f ( x, y)dS   f ( x, y)dS      f ( x, y ) dS  ...   f ( x, y ) dS .
       D               D1                 D2                        Dk
         7 ( Т е о р е м а о с р е д н е м ) . Для непрерывной функции z  f ( x, y ) в
области D , площадь которой S ( D) , всегда найдется хотя бы одна точка
P ( x0 , y0 ) , такая, что

                                  f ( x, y )dS  f ( x0 , y0 )  S ( D) .
                                   D


                                                53