Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
52
Тема 13. Кратные, криволинейные и поверхностные
интегралы
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 8, 9
Пискунов Н. С., часть 2, гл. 14, 15.
Письменный Д.Т., часть 2, § 7-12.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 2, гл. 1, 2.
Двойные интегралы и их вычисление
Рассмотрим некоторую область D , ограниченную замкнутой линией С
на плоскости Oxy . Пусть в D задана функция (, )zfxy
. Произвольными
линиями разобьем
D
на n элемен-
тарных областей
i
S , площади которых
i
S (1,2,...,in ). В каждой области
i
S
, выберем произвольную точку
(, )
ii i
Px y (рис. 3). Диаметром
i
d , об-
ласти
i
S
называется длина наиболь-
шей из хорд, соединяющих граничные
точки
i
S
. Выражение вида
1
(, )
n
niii
i
I
fxy S

(12.18)
называется интегральной суммой для функции (, )zfxy
в области
D
.
Двойным интегралом функции (, )zfxy
по области
D
называется
предел
0
lim
i
n
d
I
обозначаемый
(, )
D
f
xydS

. Таким образом, по определению
0
1
(, ) lim ( , )
i
n
ii i
d
i
D
f
xydS f x y S


(12.19)
Будем предполагать, что функция (, )zfxy
непрерывна в области
D
и линия C — кусочно-гладкая, поэтому указанный в формуле (12.19) предел
всегда существует.
Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический
и физический смыслы.
1.
()
D
dS S D

, где ()SD — площадь области интегрирования
D
.
2. Если подынтегральная функция (, ) (, )z fxy xy
 — поверх-
x
y
O
D
C
i
S
i
P
Рис. 3 
ПГУ                                                    Каф ВиПМ
                      Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

               Тема 13. Кратные, криволинейные и поверхностные
                                   интегралы

       Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 8, 9
       Пискунов Н. С., часть 2, гл. 14, 15.
       Письменный Д.Т., часть 2, § 7-12.
       Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 2, гл. 1, 2.

                          Двойные интегралы и их вычисление
          Рассмотрим некоторую область D , ограниченную замкнутой линией С
на плоскости Oxy . Пусть в D задана функция z  f ( x, y ) . Произвольными
линиями разобьем D на n элемен-               y
тарных областей Si , площади которых                         Si
Si ( i  1, 2,..., n ). В каждой области                 Pi
Si , выберем произвольную точку                                 D
Pi ( xi , yi ) (рис. 3). Диаметром di , об-
                                                    C
ласти Si называется длина наиболь-
шей из хорд, соединяющих граничные O                                    x
точки Si . Выражение вида
       n                                                                Рис. 3
I n   f ( xi , yi )  Si            (12.18)
      i 1
называется интегральной суммой для функции z  f ( x, y ) в области D .
       Двойным интегралом функции z  f ( x, y ) по области D называется
предел        lim I n обозначаемый
             di  0
                                            f ( x, y)dS . Таким образом, по определению
                                           D
                                                  n
                          f ( x, y)dS  dlim
                                             0
                                                 f ( xi , yi )  Si            (12.19)
                         D                 i     i 1
      Будем предполагать, что функция z  f ( x, y ) непрерывна в области D
и линия C — кусочно-гладкая, поэтому указанный в формуле (12.19) предел
всегда существует.
      Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометрический
и физический смыслы.
       1.     dS  S ( D) , где   S ( D) — площадь области интегрирования D .
             D
       2. Если подынтегральная функция z  f ( x, y )  ( x, y ) — поверх-


                                                  52

Страницы