Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 55 стр.

ПГУ                                                Каф ВиПМ
                  Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Число f ( x0 , y0 ) называется средним значением функции z  f ( x, y ) в
области D .
      8. Если в области D f ( x, y )  0 , то                f ( x, y )dS  0 .
                                                            D
      9. Если в области D для непрерывных функций f ( x, y ), f1 ( x, y ),
f 2 ( x, y ) выполнены неравенства f1 ( x, y )  f ( x, y )  f 2 ( x, y ) , то

                          f1 ( x, y )dS   f ( x, y )dS   f 2 ( x, y)dS .
                          D                     D                  D

      10.    f ( x, y)dS        f ( x, y ) dS .
            D                    D
      З а м е ч а н и е . Так как предел интегральной суммы не зависит от спосо-
ба разбиения области D на элементарные области Si (теорема существова-
ния и единственности), то в декартовой системе координат область D удоб-
но разбивать на элементарные области Si , прямыми, параллельными осям ко-
ординат. Полученные при таком разбиении элементарные области Si , при-
надлежащие области D являются прямоугольниками. Следовательно,
dS  dxdy и

                                       f ( x, y )dS   f ( x, y )dxdy .
                                      D                     D


                                 Вычисление двойного интеграла
      Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D , ограни-
ченной прямыми x  a, x  b (a  b) , и кривыми y  1 ( x) , y  2 ( x) , при-
чём функции 1 ( x ) и 2 ( x ) непрерывные и таковы, что 1 ( x )  2 ( x ) для
всех x   a, b  , тогда
                  b  2 ( x )               b 2 ( x )
 f ( x, y)dxdy     f ( x, y)dy  dx   dx  f ( x, y)dy                                 y  2 ( x )
D                  a  1 ( x )              a 1 ( x )         y                  yâû õ

      Для вычисления двойного интеграла сначала                                                  D
берём внутренний интеграл в пределах от
yâõ  1 ( x ) до yâû õ  2 ( x) , считая x постоян-
ным, а затем от полученного результата берём                                                     y  1 ( x )
внешний интеграл в пределах от наименьшего до                                           yâõ
наибольшего значений x в области D (рис. 5).                                                                    x
                                                                             O      a                   b
                                                                                        Рис. 5
                                                       54