Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 57 стр.

ПГУ                                               Каф ВиПМ
                 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

         Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в по-
                               лярных координатах
      Пусть переменные x, y связаны с переменными u , v соотношениями
x  x(u , v) , y  y (u , v) где x(u, v), y (u , v) -  непрерывные и диф-
ференцируемые функции.
                      x x
                      u v
      Выражение                 I называется определителем Якоби или Яко-
                      y y
                      u v
бианом.
      Тогда
                       f ( x, y)dydx   f ( x(u, v), y(u, v))  I  dudv .      (12.20)
                      D                  D
     Формула (12.20) называется формулой замены переменных в двойном
интеграле.
     Прямоугольные декартовы ( x, y ) и полярные (, ) координаты свя-
                                                x   cos 
заны между собой следующими соотношениями:                  ,
                                                y   sin 
      В этом случае Якобиан имеет вид:
                    x x
                      cos   sin 
                I                        cos 2    sin 2   
                    y y sin   cos 
                     
      Тогда формула (13.3) принимает вид
       f ( x, y)dxdy   f ( cos ,  sin ) d d    f1 (, ) d d  .
      D                   D                                D
     Здесь D - область в полярной системе координат, соответствующая
области D в декартовой системе координат.




                                              56