Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
55
Пример. Вычислить интеграл ()
D
x
ydxdy

, если область D ограниче-
на линиями:
2
,0,2yx y x (рис. 6).
Решение
.
2
2
2
00
22
24
3
0
00
45
2
0
() ()
() ()
22
43,20,8.
410
x
D
yx
y
x y dxdy dx x y dy
yx
x
yxdx
xx









Если функция (, )zfxy непрерывна в замкнутой области
D
, ограни-
ченной прямыми ,()ycydcd, и кривыми
1
()
x
y
,
2
()
x
y
, при-
чём функции
1
()y
и
2
()y
непрерывные и таковы, что
12
() ()yy
для всех

,ycd , тогда
2
1
()
()
(, ) (, )
y
d
Dcy
f
x y dxdy dy f x y dx

Пример.
Вычислить интеграл
22
()
D
ydxdy

, если область
D
ограни-
чена линиями ,1, 2,0yxy y x (рис. 7).
Решение.
2
22 22
10
22
3
2
234
01
11
() ()
44
3312
64 4
5.
12 12
x
D
y
x y dxdy dy x y dx
x
yx dy ydy y









D
x
y
2
O
Рис. 6
D
x
y
yx
O
1
2
Рис. 7 
ПГУ                                                       Каф ВиПМ
                         Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

             Пример. Вычислить интеграл                 ( x  y)dxdy , если область D                  ограниче-
                                                       D
на линиями: y  x 2 , y  0, x  2 (рис. 6).                                       y
             Решение.
                         2       x2
 ( x  y)dxdy   dx  ( x  y)dy                                                       D               x
D                        0       0
                        2
                                                                                  O         2
    2             2 yx          2            4
        y                 x
  ( xy )       ( x3  )dx 
         2 y 0            2                                                               Рис. 6
 0                0
  x 4 x5  2
         4  3,2  0,8.
  4 10 
         0

      Если функция z  f ( x, y ) непрерывна в замкнутой области D , ограни-
ченной прямыми y  c, y  d (c  d ) , и кривыми x  1 ( y ) , x   2 ( y ) , при-
чём функции 1 ( y ) и  2 ( y ) непрерывные и таковы, что 1 ( y )   2 ( y )
для всех y   c, d  , тогда
                                                                d      2 ( y)
                                           f ( x, y)dxdy   dy               f ( x, y )dx
                                          D                     c     1 ( y )
                                                                2
             Пример. Вычислить интеграл                 ( x        y 2 )dxdy , если область D ограни-
                                                       D
чена линиями y  x, y  1, y  2, x  0 (рис. 7).
             Решение.
                                                                                       y
                             2        x
         2
 ( x        y 2 )dxdy   dy  ( x 2  y 2 ) dx                                    2
D                            1        0                                                         D    yx
    2 3            2                                                                  1
     x    2
             y       4 3    4 42
     y x  dy   y dy  y                                                                                  x
    3               3     12                                                         O
  1         0     1           1
                                                                                                Рис. 7
  64 4
      5.
  12 12




                                                           55

Страницы