Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
57
Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги)
Пусть в пространстве
3
R
задана гладкая дуга
A
B
кривой
L
, во всех
точках которой определена непрерывная функция (, ,)ufxyz
. Дугу
A
B
произвольным образом разобьем на n частей
i
l
, длиной
i
l
,
( 1, 2,..., )in (рис.8). В каждой элементарной части
i
l
, выберем произ-
вольную точку
(, , )
ii ii
M
xyz
и соста-
вим интегральную сумму
1
(, ,)
n
niiii
i
I
fxyz l

.
Тогда предел
0
lim
i
n
l

всегда су-
ществует, называется криволинейным
интегралом первого рода или кри-
волинейным интегралом по длине ду-
ги
A
B
от функции (, ,)
f
xyz и обо-
значается
(, ,)
A
B
f
xyzdl
.
Таким образом, по определению
max 0
1
(, ,) lim ( , , )
i
n
iii i
l
i
A
B
f
xyzdl f x y z l

.
Если кривая
L
лежит в плоскости Oxy и вдоль этой кривой задана не-
прерывная функция (, )
f
xy, то
max 0
1
(, ) lim ( , )
i
n
ii i
l
i
A
B
f
xydl f x y l

.
Свойства криволинейного интеграла первого рода.
1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от на-
правления кривой
A
B
.
2) Свойство линейности: постоянный множитель можно выносить за
знак криволинейного интеграла; криволинейный интеграл от суммы функ-
ций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.
3) Свойство аддитивности: если кривая
A
B
разбита на дуги АС и СВ, то
(, ,) (, ,) (, ,)
A
BACCB
f
xyzds f xyzds f xyzds

.
A
B
L
x
y
z
O
i
l
i
M
Рис. 8 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

            Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги)
        Пусть в пространстве R3 задана гладкая дуга AB кривой L , во всех
точках которой определена непрерывная функция u  f ( x, y, z ) . Дугу AB
произвольным образом разобьем на               n частей     li , длиной li ,
(i  1, 2,..., n) (рис.8). В каждой элементарной части li , выберем произ-
вольную точку M i ( xi , yi , zi ) и соста-
вим интегральную сумму                              z
                     n
            I n   f ( xi , yi , zi )li .                                                                 B
                    i 1                                                                          li
      Тогда предел              lim I n всегда су-                                                     Mi
                               li  0
                                                                          A                                     y
ществует, называется криволинейным
                                                                                       O
интегралом первого рода или кри-                                          L
волинейным интегралом по длине ду-
ги AB от функции f ( x, y, z ) и обо-                                 x
                                                                                             Рис. 8
значается       f ( x, y, z )dl .
            AB
      Таким образом, по определению
                                                                              n
                                   f ( x, y, z ) dl         lim
                                                          max li  0 i 1
                                                                           f ( xi , yi , zi )li .
                               AB
     Если кривая L лежит в плоскости Oxy и вдоль этой кривой задана не-
прерывная функция f ( x, y ) , то
                                                                              n
                                       f ( x, y ) dl          lim
                                                          max li  0 i 1
                                                                           f ( xi , yi )li .
                                   AB


                Свойства криволинейного интеграла первого рода.
      1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от на-
правления кривой AB .
      2) Свойство линейности: постоянный множитель можно выносить за
знак криволинейного интеграла; криволинейный интеграл от суммы функ-
ций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.
      3) Свойство аддитивности: если кривая AB разбита на дуги АС и СВ, то
                               f ( x, y , z )ds          f ( x, y, z ) ds         f ( x, y, z ) ds .
                         AB                          AC                           CB




                                                           57

Страницы