Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
59
где
A
и
B
- значения полярного угла
, определяющие на кривой
точки А и В.
Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно диффе-
ренцируемой на
,ab функцией ()yyx
, где а и b - абсциссы точек А и В,
то
2
(, ) (, ())1 ()
b
A
Ba
f
x y dl f x y x y x dx


.
Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов первого
рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Криволинейные интегралы второго рода (по координатам)
Пусть в пространстве
3
R
задан вектор
(, ,) (, ,) (, ,)Pxyz Qxyz Rxyzai
k ,
координаты которого - непрерывные
функции в точках ориентированной кри-
вой
L
. Кривую
L
разобьем в направле-
нии от
A
к В на п элементарных дуг
i
l
и построим векторы
ii i i
lx y z ijk
, где
,,
iii
x
yz
- проекции векторов
i
l
на оси координат. Начала этих векторов
совпадают с началами элементарных
дуг
i
l
, а концы - с их концами (рис.9).
На каждой элементарной части
i
l
, вы-
берем произвольную
(, , )
ii ii
M
xyz
точку и составим интегральную
сумму
1
1
(,,) (,,) (,,)
(, ,)
n
n iii i iii i iii i
i
n
iii i
i
I
Px y z x Qx y z y Rx y z z
xyz l


a
(12.23)
Предел суммы (12.23), найденный при условии, что все 0
i
l
, называ-
ется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным инте-
гралом по координатам от вектор-функции (, ,)
x
yza по кривой
L
и обо-
значается
A
B
1
N
2
N
1i
N
i
N
i
M
1n
N
x
y
z
i
x
i
y
i
z
Рис. 9 
ПГУ                                                    Каф ВиПМ
                      Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

где  A и  B - значения полярного угла  , определяющие на кривой
точки А и В.
      Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно диффе-
ренцируемой на  a, b  функцией y  y ( x) , где а и b - абсциссы точек А и В,
то
                                                        b
                                        f ( x, y )dl   f ( x, y ( x)) 1  y 2 ( x ) dx .
                                    AB                  a
      Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов первого
рода сводится к вычислению определенного интеграла.

                Криволинейные интегралы второго рода (по координатам)
       Пусть                в            пространстве         R3        задан           вектор
a  P ( x, y , z )i  Q ( x, y, z ) j  R ( x, y, z )k ,
                                                                   z
координаты которого - непрерывные
функции в точках ориентированной кри-                            zi
вой L . Кривую L разобьем в направле-                                         Ni
                                                                       Mi
нии от A к В на п элементарных дуг li                                            N n 1
и                построим                      векторы                 Ni 1
                                                                                   B
                                                           A         N2
li  xi i  yi j  zi k ,                          где
                                                               N1
xi , yi , zi - проекции векторов li                                        yi           y
на оси координат. Начала этих векторов                      xi
совпадают с началами элементарных x
дуг li , а концы - с их концами (рис.9).
                                                                               Рис. 9
На каждой элементарной части li , вы-
берем произвольную M i ( xi , yi , zi ) точку                и составим интегральную
сумму
          n
 I n   P( xi , yi , zi )xi  Q( xi , yi , zi )yi  R ( xi , yi , zi )zi 
         i 1
                                                                                               (12.23)
          n                    
        a( xi , yi , zi )  li
        i 1
                                                            
      Предел суммы (12.23), найденный при условии, что все li  0 , называ-
ется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным инте-
гралом по координатам от вектор-функции a( x, y, z ) по кривой L и обо-
значается




                                                            59

Страницы