Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 62 стр.

ПГУ                                                 Каф ВиПМ
                   Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

      Криволинейный интеграл второго рода (12.24) в случае, когда a  F
сила, под действием которой перемещается тело, определяет работу силы F
на пути AB . В этом заключается физический смысл криволинейного интеграла
второго рода.
      Теорема (Грина). Если функции P( x, y ), Q( x, y ) непрерывны, имеют
непрерывные частные производные в замкнутой односвязной области D ,
лежащей в плоскости Oxy и ограниченной кусочно-гладкой кривой L , то
                                                              Q       P 
                             P( x, y)dx  Q( x, y)dy    x    
                                                                        y 
                                                                              dydx ,   (12.26)
                            L                            D
где интегрирование по контуру L выполняется в положительном на-
правлении.
      Формула (12.26) называется формулой Грина. Т.о. формула Грина
устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегра-
лом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной
интеграл по области, ограниченной этим контуром.
      Если в некоторой области D выполнены условия теоремы Грина, то
равносильны следующие утверждения.
      1.    P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 , если    L - любой замкнутый контур, рас-
           L
положенный в области D .
      2. Интеграл          P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy не зависит от пути интегрирова-
                       AB
ния, соединяющего точки А и В.
      3. P( x, y )dx  Q( x, y )dy  du ( x, y ) , где du ( x, y ) - полный дифференци-
ал функции u ( x, y ) .
                                                      P Q
      4. Во всех точках области D справедливо равенство    .
                                                      y x
     Из формулы Грина следует, что площадь S области D можно также
вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода:
                                    1
                           S ( D )    ydx  xdy ,
                                    2
                                                     L
где интегрирование по контуру L производится в положительном направ-
лении.
         С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно ре-
шить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение
P ( x, y )dx  Q( x, y )dy , которое является полным дифференциалом некоторой
функции u ( x, y ) . Требуется найти эту функцию.


                                                61