Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
62
Решение данной задачи определяется формулой
00
0
(, ) (, ) (, )
y
x
xy
uxy Pxy dx Qxydy C

или
00
0
(, ) ( , ) (, )
y
x
yx
uxy Qx ydy Pxydx C

, (12.27)
где точки
000
(, )
M
xy
и (, )
M
xy принадлежат области D, в которой
(, ), (, )Pxy Qxy и их частные производные являются непрерывными функ-
циями; С - произвольная постоянная.
Поверхностные интегралы первого рода
Пусть (, ,)ufxyz - непрерывная функция в точках некоторой гладкой
поверхности
3
SR . С помощью кусочно-гладких линий разобьем по-
верхность S на п элементарных площа-
док
i
S
, площади которых обозначим че-
рез
i
S
, ( 1, 2,..., )in , а диаметры - че-
рез
i
d
(рис. 10). На каждой площадке
i
S
, выберем произвольную точку
(, , )
ii ii
M
xyz
, вычислим
(, , )
iii
f
xyz
и
составим интегральную сумму
1
(, ,)
n
niiii
i
I
fxyz S

Тогда предел
max 0
lim
i
n
d
I
всегда
существует, называется поверхностным интегралом первого рода от функ-
ции (, ,)
f
xyz по поверхности S и обозначается
(, ,)
S
xyzdS

.
Таким образом, по определению
max 0
1
(, ,) lim ( , , ) .
i
n
iii i
d
i
S
f
xyzdS f x y z S

Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами ли-
нейности, аддитивности, для них справедлива теорема о среднем, их вели-
чина не зависит от выбора стороны поверхности.
x
y
z
O
S
D
i
S
i
M
Рис. 10 
ПГУ                                             Каф ВиПМ
               Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

      Решение данной задачи определяется формулой
                                       x                       y
                       u ( x, y )      P( x, y0 )dx   Q( x, y)dy  C           или
                                      x0                       y0
                                  y                       x
                  u ( x, y )      Q( x0 , y)dy   P( x, y)dx  C ,                    (12.27)
                                  y0                      x0
где точки M 0 ( x0 , y0 ) и M ( x, y ) принадлежат области D, в которой
P( x, y ), Q( x, y ) и их частные производные являются непрерывными функ-
циями; С - произвольная постоянная.

                       Поверхностные интегралы первого рода
      Пусть u  f ( x, y, z ) - непрерывная функция в точках некоторой гладкой
поверхности S  R3 . С помощью кусочно-гладких линий разобьем по-
верхность S на п элементарных площа-
док Si , площади которых обозначим че-                 z    S
рез Si , (i  1, 2,..., n) , а диаметры - че-           Mi
рез di (рис. 10). На каждой площадке
Si , выберем произвольную точку
                                                            Si
M i ( xi , yi , zi ) , вычислим f ( xi , yi , zi ) и
                                                       O
составим интегральную сумму                                    y
                          n                              D
                    I n   f ( xi , yi , zi )Si    x
                i 1
      Тогда предел          lim        I n всегда                             Рис. 10
                        max di  0
существует, называется поверхностным интегралом первого рода от функ-
ции f ( x, y, z ) по поверхности S и обозначается  f ( x, y , z )dS .
                                                                          S
      Таким образом, по определению
                                                                    n
                        f ( x, y, z )dS  maxlim
                                                 d 0
                                                       f ( xi , yi , zi )Si .
                        S                             i            i 1
      Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами ли-
нейности, аддитивности, для них справедлива теорема о среднем, их вели-
чина не зависит от выбора стороны поверхности.




                                                 62

Страницы