Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
63
Очевидно, что интеграл
S
dS
равен площади поверхности, а
(, ,)
S
x
yzdS

, где (, ,)
x
yz - поверхностная плотность поверхности S , -
массе поверхности S .
Если проекция
D
поверхности S на плоскость Oxy однозначна, т. е.
всякая прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность S лишь в
одной точке, то поверхность можно задать уравнением (, )zzxy и спра-
ведливо равенство, с помощью которого вычисление поверхностного инте-
грала первого рода сводится к вычислению двойного интеграла:
22
(, ,) (, ,(, ))1 (, ) (, )
xy
SD
f
xyzdS f xyzxy z xy z xydxdy


 
. (12.28)
Пример. Вычислить
22
S
x
ydS

, где S - часть конической по-
верхности
222
x
yz, расположенная между плоскостями 0z и
2
z
(рис. 11).
Решение. Из уравнения данной по-
верхности находим, что для рассматривае-
мой её части
22
zxy
и проекцией её
D
на плоскость Oxy является круг
22
4xy. Так как
22
,
x
x
z
x
y
22
y
y
z
x
y
, то из формулы (12.28) по-
лучим
22
22 22 22
22
22
22
00
12
cos
8162
sin 2 2 2 2 .
33
SD D
D
xy
x y dS x y dxdy x y dxdy
xy
x
ydddd
dxdy d d




  

x
y
z
D
2
2
Рис. 11 
ПГУ                                                      Каф ВиПМ
                        Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

          Очевидно, что интеграл               dS   равен площади поверхности, а
                                              S
 ( x, y, z )dS , где     ( x, y, z ) - поверхностная плотность поверхности S , -
S
массе поверхности S .
       Если проекция D поверхности S на плоскость Oxy однозначна, т. е.
всякая прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность S лишь в
одной точке, то поверхность можно задать уравнением z  z ( x, y ) и спра-
ведливо равенство, с помощью которого вычисление поверхностного инте-
грала первого рода сводится к вычислению двойного интеграла:

     f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z ( x, y))      1  z x2 ( x, y )  z y2 ( x, y ) dxdy .      (12.28)
      S                     D

          П р и м е р . Вычислить               x 2  y 2 dS , где S - часть конической по-
                                         S
верхности x 2  y 2  z 2 , расположенная между плоскостями z  0 и z  2
(рис. 11).
       Р е ш е н и е . Из уравнения данной по-
                                                        z
верхности находим, что для рассматривае-
мой её части z  x 2  y 2 и проекцией её                                               2
D на плоскость Oxy является круг
                                         x                                                               y
x2  y 2  4 .    Так    как   z x         ,                                              D
                                       2   2                                        2
                                      x y
           y                                                                x
z y            , то из формулы (12.28) по-                                                Рис. 11
         2     2
       x y
лучим

             2    2             2        2          x2  y 2
         x  y dS   x  y                1                       dxdy  2  x 2  y 2 dxdy 
                                                      2            2
    S                       D                       x y                            D
          x   cos                                       2           2
                                     2                                      2                 8 16 2
     y   sin             2   d  d   2                d           d   2  2       .
                                                                                              3   3
          dxdy   d d         D                             0        0




                                                          63

Страницы