ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
63
Очевидно, что интеграл
S
dS
равен площади поверхности, а
(, ,)
S
x
yzdS
, где (, ,)
x
yz - поверхностная плотность поверхности S , -
массе поверхности S .
Если проекция
D
поверхности S на плоскость Oxy однозначна, т. е.
всякая прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность S лишь в
одной точке, то поверхность можно задать уравнением (, )zzxy и спра-
ведливо равенство, с помощью которого вычисление поверхностного инте-
грала первого рода сводится к вычислению двойного интеграла:
22
(, ,) (, ,(, ))1 (, ) (, )
xy
SD
f
xyzdS f xyzxy z xy z xydxdy
. (12.28)
Пример. Вычислить
22
S
x
ydS
, где S - часть конической по-
верхности
222
x
yz, расположенная между плоскостями 0z и
2
z
(рис. 11).
Решение. Из уравнения данной по-
верхности находим, что для рассматривае-
мой её части
22
zxy
и проекцией её
D
на плоскость Oxy является круг
22
4xy. Так как
22
,
x
x
z
x
y
22
y
y
z
x
y
, то из формулы (12.28) по-
лучим
22
22 22 22
22
22
22
00
12
cos
8162
sin 2 2 2 2 .
33
SD D
D
xy
x y dS x y dxdy x y dxdy
xy
x
ydddd
dxdy d d
x
y
z
D
2
2
Рис. 11
ПГУ Каф ВиПМ Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Очевидно, что интеграл dS равен площади поверхности, а S ( x, y, z )dS , где ( x, y, z ) - поверхностная плотность поверхности S , - S массе поверхности S . Если проекция D поверхности S на плоскость Oxy однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси Oz , пересекает поверхность S лишь в одной точке, то поверхность можно задать уравнением z z ( x, y ) и спра- ведливо равенство, с помощью которого вычисление поверхностного инте- грала первого рода сводится к вычислению двойного интеграла: f ( x, y, z )dS f ( x, y, z ( x, y)) 1 z x2 ( x, y ) z y2 ( x, y ) dxdy . (12.28) S D П р и м е р . Вычислить x 2 y 2 dS , где S - часть конической по- S верхности x 2 y 2 z 2 , расположенная между плоскостями z 0 и z 2 (рис. 11). Р е ш е н и е . Из уравнения данной по- z верхности находим, что для рассматривае- мой её части z x 2 y 2 и проекцией её 2 D на плоскость Oxy является круг x y x2 y 2 4 . Так как z x , D 2 2 2 x y y x z y , то из формулы (12.28) по- Рис. 11 2 2 x y лучим 2 2 2 2 x2 y 2 x y dS x y 1 dxdy 2 x 2 y 2 dxdy 2 2 S D x y D x cos 2 2 2 2 8 16 2 y sin 2 d d 2 d d 2 2 . 3 3 dxdy d d D 0 0 63
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »