Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 65 стр.

ПГУ                                                  Каф ВиПМ
                    Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

                          Поверхностные интегралы второго рода
      Сторона гладкой поверхности S , из каждой точки которой восставлен
вектор нормали n , называется положительной, а другая ее сторона (если она
существует) - отрицательной. Если, в частности, поверхность S является
замкнутой и ограничивает некоторую область пространства V, то положи-
тельной или внешней стороной поверхности называется та ее сторона, нор-
мальные векторы которой направлены от области V, а отрицательной или
внутренней — сторона, нормальные векторы которой направлены в область
V. Поверхность, у которой существуют положительная (внешняя) и отрица-
тельная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Поверхность S с
выбранной стороной называется ориентированной. Будем считать положи-
тельным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, та-
кое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверх-
ности сама поверхность остается слева.
      Если поверхность S задана уравнением z  f ( x, y ) то нормальный век-
тор n , образующий с осью Oz острый угол  , определяется следующим об-
                             
разом: n   f x ,  f y ,1 , а координаты единичного вектора нормали n0 рав-
ны его направляющим косинусам, т. е.
                  f          f y 1 
          n 0    x ,          ,   (cos , cos , cos  ), n  1  f x2  f y 2 .
                  n           n n
     Если поверхность S задана уравнением F ( x, y, z )  0 , то
                                                          gradF
                                                 n0           ,
                                                          gradF
где знак « + » берется в случае, когда угол  острый, а знак «—» в случае,
когда  - тупой.
       Пусть           в        пространстве             R3  определена            вектор-функция
a  P ( x, y , z )i  Q ( x, y, z ) j  R ( x, y, z )k , где P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ) -
функции, непрерывные в области V. Далее, пусть S - некоторая гладкая по-
верхность, лежащая в области V, с выбранной положительной стороной, т.е.
выбранным направлением вектора n0 . Разобьем поверхность S принадле-
жащими ей кусочно-гладкими линиями на элементарные площадки Si ,
площади которых Si (i  1, 2,..., n) , а диаметры - di , и выберем в каждой
из них произвольно точку M i ( xi , yi , zi ) . Тогда существует предел
                                           n
                                  lim
                              max d  0
                                         a( xi , yi , zi )  n0 ( xi , yi , zi )Si ,
                                    i     i 1



                                                   64