ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
64
Поверхностные интегралы второго рода
Сторона гладкой поверхности S , из каждой точки которой восставлен
вектор нормали
n
, называется положительной, а другая ее сторона (если она
существует) - отрицательной. Если, в частности, поверхность S является
замкнутой и ограничивает некоторую область пространства V, то положи-
тельной или внешней стороной поверхности называется та ее сторона, нор-
мальные векторы которой направлены от области V, а отрицательной или
внутренней — сторона, нормальные векторы которой направлены в област
ь
V. Поверхность, у которой существуют положительная (внешняя) и отрица-
тельная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Поверхность S с
выбранной стороной называется ориентированной. Будем считать положи-
тельным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, та-
кое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверх-
ности сама поверхность остается слева.
Если поверхность S задана уравнением (, )zfxy
то нормальный век-
тор
n
, образующий с осью Oz острый угол
, определяется следующим об-
разом:
,,1
xy
ff
n
, а координаты единичного вектора нормали
0
n
рав-
ны его направляющим косинусам, т. е.
022
1
, , (cos ,cos ,cos ), 1 .
y
x
x
y
f
f
f
f
nn
nnn
Если поверхность S задана уравнением (, ,) 0Fxyz
, то
0
F
F
grad
n
grad
,
где знак « + » берется в случае, когда угол
острый, а знак «—» в случае,
когда
- тупой.
Пусть в пространстве
3
R
определена вектор-функция
(, ,) (, ,) (, ,)Pxyz Qxyz Rxyzai
j
k , где (,,), (,,), (,,)Pxyz Qxyz Rxyz -
функции, непрерывные в области V. Далее, пусть S - некоторая гладкая по-
верхность, лежащая в области V, с выбранной положительной стороной, т.е.
выбранным направлением вектора
0
n
. Разобьем поверхность S принадле-
жащими ей кусочно-гладкими линиями на элементарные площадки
i
S
,
площади которых
i
S
( 1, 2,..., )in , а диаметры -
i
d
, и выберем в каждой
из них произвольно точку
(, , )
ii ii
M
xyz
. Тогда существует предел
0
max 0
1
lim ( , , ) ( , , )
i
n
iii iii i
d
i
x
yz xyz S
an ,
ПГУ Каф ВиПМ Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Поверхностные интегралы второго рода Сторона гладкой поверхности S , из каждой точки которой восставлен вектор нормали n , называется положительной, а другая ее сторона (если она существует) - отрицательной. Если, в частности, поверхность S является замкнутой и ограничивает некоторую область пространства V, то положи- тельной или внешней стороной поверхности называется та ее сторона, нор- мальные векторы которой направлены от области V, а отрицательной или внутренней — сторона, нормальные векторы которой направлены в область V. Поверхность, у которой существуют положительная (внешняя) и отрица- тельная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Поверхность S с выбранной стороной называется ориентированной. Будем считать положи- тельным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, та- кое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверх- ности сама поверхность остается слева. Если поверхность S задана уравнением z f ( x, y ) то нормальный век- тор n , образующий с осью Oz острый угол , определяется следующим об- разом: n f x , f y ,1 , а координаты единичного вектора нормали n0 рав- ны его направляющим косинусам, т. е. f f y 1 n 0 x , , (cos , cos , cos ), n 1 f x2 f y 2 . n n n Если поверхность S задана уравнением F ( x, y, z ) 0 , то gradF n0 , gradF где знак « + » берется в случае, когда угол острый, а знак «—» в случае, когда - тупой. Пусть в пространстве R3 определена вектор-функция a P ( x, y , z )i Q ( x, y, z ) j R ( x, y, z )k , где P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ) - функции, непрерывные в области V. Далее, пусть S - некоторая гладкая по- верхность, лежащая в области V, с выбранной положительной стороной, т.е. выбранным направлением вектора n0 . Разобьем поверхность S принадле- жащими ей кусочно-гладкими линиями на элементарные площадки Si , площади которых Si (i 1, 2,..., n) , а диаметры - di , и выберем в каждой из них произвольно точку M i ( xi , yi , zi ) . Тогда существует предел n lim max d 0 a( xi , yi , zi ) n0 ( xi , yi , zi )Si , i i 1 64
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »