Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 67 стр.

ПГУ                                               Каф ВиПМ
                 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

      Потоком векторного поля a( M ) , M ( x, y, z )  S через поверхность S в
сторону единичного вектора нормали n0  (cos , cos , cos  ) поверхности
S называется поверхностный интеграл второго рода (12.30).
     Если вектор a( P, Q, R) определяет векторное поле скоростей текущей
несжимаемой жидкости, то интеграл (12.30) равен объему V жидкости, про-
текающей через поверхность S в направлении нормали n0 за единицу вре-
мени (в этом заключается физический смысл интеграла (12.30)), т. е.
                                    Ï   a( M )  n0 dS .                  (12.33)
                                          S
      Из формулы (12.33) ясно, что П - скалярная величина, и если
                                                                            
угол   (a, n0 )  , то П  0, если же   , то П < 0, если   , то
                   2                                 2                        2
Ï  0.
      При изменении ориентации поверхности знак П меняется на про-
тивоположный (вследствие свойств поверхностных интегралов второго ро-
да).
      Пусть S замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая об-
ласть V , и P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R( x, y, z ) - функции, непрерывные
вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой
области V. Тогда поток П вектора a( P, Q, R) через поверхность S можно
вычислить с помощью формулы Остроградского — Гаусса :
                                            P Q R 
        Ï   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy              dxdydz .            (12.34)
                                            x y z 
            S                           V
     Т.о. эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по
замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области,
ограниченной этой поверхностью.
     На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для
вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это те-
ло. Имеют место формулы:
                      V   xdydz   ydxdz   zdxdy   dxdydz
                           S          S           S           V
      Пусть a( M ) поле скоростей несжимаемой жидкости. Если П > 0, то из
формулы (12.34) следует, что из области V вытекает больше жидкости, чем
втекает. Это означает, что внутри области V имеются источники. Если
Ï  0 , то из области V вытекает меньше жидкости, чем втекает в нее. В этом
случае говорят, что внутри области V имеются стоки. При Ï  0 в область V
втекает столько же жидкости, сколько вытекает.


                                          66