Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
67
x
y
z
S
0
n
L
Ã
Рис. 12
Пусть в области V задано векторное поле ()(,,)
M
PQR
a , где функции
(, ,), (, ,), (, ,)PPxyzQQxyzRRxyz имеют частные производные в точ-
ке (, ,)
M
xyz V по ,,
x
yz соответственно. Тогда дивергенцией или расхо-
димостью векторного поля а(М) в точке М, обозначаемой div ( )
a , назы-
вается величина, равная сумме частных производных, вычисленных в точке
М, т. е. по определению
div ( )
M
PQR
M
xyz






a . (12.35)
С физической точки зрения div ( )
a характеризует плотность источ-
ников или стоков векторного поля ()
M
a в точке М. Если div ( ) 0
M
a , то
точка М является источником, если div ( ) 0
M
a - стоком. В случае, когда
div ( ) 0
M
a , в точке М нет ни источников, ни стоков. Перечислим основ-
ные свойства дивергенции векторного поля:
1) div( ) div div ab a b;
2) div 0c , если c - постоянный вектор;
3) div( ) div
f
ff aaa
g
rad , где (, ,)
f
fxyz
- скалярная функ-
ция.
Из формул (12.33), (12.34) и (12.35) следует, что
0
() div()
SV
Ï
M dS M dxdydz
 
an a , (12.36)
т.е. поток векторного поля ()
M
a через замкнутую поверхность S во внеш-
нюю ее сторону численно равен тройному интегралу от дивергенции этого
поля по области V, ограниченной поверхностью S.
Циркуляция и ротор векторного поля
Пусть
L
- замкнутая кусочно-
гладкая кривая в пространстве
3
R
и S
- гладкая поверхность, краем которой
служит кривая
L
. За положительное
направление обхода кривой
L
при-
нимается такое направление, при ко-
тором область, ограниченная этой
кривой, будет оставаться слева на по-
ложительной стороне поверхности S ,
т. е. на стороне, из точек которой вос-
ставлен единичный вектор нормали
0
(cos ,cos ,cos )n
к поверхности S (рис. 12). Пусть, далее, в каждой 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

       Пусть в области V задано векторное поле a( M )  ( P, Q, R ) , где функции
P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R( x, y, z ) имеют частные производные в точ-
ке M ( x, y, z ) V по x, y, z соответственно. Тогда дивергенцией или расхо-
димостью векторного поля а(М) в точке М, обозначаемой div a( M ) , назы-
вается величина, равная сумме частных производных, вычисленных в точке
М, т. е. по определению
                                       P Q R 
                         div a( M )           .                                (12.35)
                                       x y z  M
       С физической точки зрения div a( M ) характеризует плотность источ-
ников или стоков векторного поля a( M ) в точке М. Если div a( M )  0 , то
точка М является источником, если div a( M )  0 - стоком. В случае, когда
div a( M )  0 , в точке М нет ни источников, ни стоков. Перечислим основ-
ные свойства дивергенции векторного поля:
       1) div(a  b)  div a  div b ;
       2) div c  0 , если c - постоянный вектор;
       3) div( f  a)  f div a  a  grad f , где f  f ( x, y, z ) - скалярная функ-
ция.
       Из формул (12.33), (12.34) и (12.35) следует, что
                     Ï   a( M )  n0 dS   diva( M ) dxdydz ,                 (12.36)
                           S                 V
т.е. поток векторного поля a( M ) через замкнутую поверхность S во внеш-
нюю ее сторону численно равен тройному интегралу от дивергенции этого
поля по области V, ограниченной поверхностью S .

                         Циркуляция и ротор векторного поля
       Пусть L - замкнутая кусочно-
                                                         z
гладкая кривая в пространстве R3 и S                                                    n0
- гладкая поверхность, краем которой                                      S
служит кривая L . За положительное
направление обхода кривой L при-
нимается такое направление, при ко-                                             L
тором область, ограниченная этой
кривой, будет оставаться слева на по-                                                         y
ложительной стороне поверхности S ,
т. е. на стороне, из точек которой вос-          x                                  Ã
ставлен единичный вектор нормали                                      Рис. 12
n0  (cos , cos , cos  ) к поверхности S (рис. 12). Пусть, далее, в каждой

                                           67

Страницы