Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
69
С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора
вектора ()
M
a как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор
()
M
a , т.е.
.
ijk
RQ PR QP
ijk
xyz y z z x x y
PQR
 




 


 
rot a a


Ч
исло
0
()ïð ()CM M
n
rot a называется плотностью циркуляции векторного
поля ()
M
a в точке М в направлении вектора
0
n
. Плотность достигает мак-
симума в направлении ()
M
rot a и равна
max ( ) ( )CM M rot a .
Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
1) () rot a b rota rotb ;
2) () 0rot c , если c - постоянный вектор;
3) ()
f
ff rot a rot a a
g
rad , где (, ,)
f
fxyz
- скалярная функция.
Если ( ) 0
M
rot a , то это свидетельствует о вращении вектор-
ного поля ()
M
a .
Векторное поле
(, ,) (, ,) (, ,)Pxyz Qxyz RxyzFi jk
называется по-
тенциальным
или безвихревым в односвязной области V , если в каждой
точке этой области ротор равен нулю.
Согласно определению ротора, необходимыми и достаточными усло-
виями потенциальности поля являются выполнение равенств
0, 0,
RQ PR
yz zx
 


0.
QP
xy

(12.37)
Тогда вектор
F
является градиентом некоторой функции (, ,)uuxyz ,
которая называется
потенциалом векторного поля, т.е.
uuu
u
x
yz



Fgrad i j k
.
Потенциал векторного поля находится по формуле
0
000
00 0
(, ,)
(,,) (,,) (,,)
MM
y
xz
xyz
uxyz Pdx Qdy Rdz C
Pxy z dx Qxyz dy Rxyzdz C



, 
ПГУ                                               Каф ВиПМ
                 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

       С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора
вектора a( M ) как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор
a( M ) , т.е.
                             
                        i   j k
                             R Q    P R    Q P  
        rot a    a                 i         j        k.Ч
                        x y z  y z       z x      x y 
                        P Q R
исло C ( M )  ï ðn0 rot a( M ) называется плотностью циркуляции векторного
поля a( M ) в точке М в направлении вектора n0 . Плотность достигает мак-
симума в направлении rot a( M ) и равна
max C ( M )  rot a( M ) .
      Отметим некоторые свойства ротора векторного поля:
      1) rot (a  b)  rot a  rot b ;
      2) rot (c)  0 , если c - постоянный вектор;
      3) rot ( f  a)  f rot a  a  grad f , где f  f ( x, y, z ) - скалярная функция.
      Если rot a( M )  0 , то это свидетельствует о вращении вектор-
ного поля a( M ) .
      Векторное поле F  P ( x, y, z )i  Q ( x, y, z ) j  R ( x, y, z )k называется по-
тенциальным или безвихревым в односвязной области V , если в каждой
точке этой области ротор равен нулю.
      Согласно определению ротора, необходимыми и достаточными усло-
виями потенциальности поля являются выполнение равенств
              R Q          P R               Q P
                      0,               0,                  0.               (12.37)
              y z          z x                x y
      Тогда вектор F является градиентом некоторой функции u  u ( x, y, z ) ,
которая называется потенциалом векторного поля, т.е.
                                           u        u       u
                           F  grad u  i                j k .
                                           x        y       z
      Потенциал векторного поля находится по формуле
       u ( x, y , z )   Pdx  Qdy  Rdz  C 
                    M0M
                       x                    y                    z                      ,
                       P( x, y0 , z0 )dx   Q( x, y, z0 )dy   R( x, y, z )dz  C
                       x0                   y0                  z0



                                                69

Страницы