Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 69 стр.

ПГУ                                              Каф ВиПМ
                Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

точке поверхности S задан вектор a( P, Q, R) , координаты которого
P  P( x, y, z ), Q  Q( x, y, z ), R  R ( x, y, z ) являются непрерывными функция-
ми вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет
место формула Стокса, связывающая криволинейный и поверхностный
интегралы
                             R       Q         P R          Q P 
    Pdx  Qdy  Rdz    y          
                                       z 
                                           dydz         dzdx  
                                                   z x          x
                                                                        
                                                                          y  dxdy ,
                                                                             
   L                    S
где направление обхода по замкнутой кривой L выбирается положительным.
      Формула Грина (12.26) является частным случаем формулы Стокса, ко-
гда кривая L и поверхность S лежат в плоскости Oxy .
       Если задано векторное поле a( M )  ( P, Q, R) и некоторая замкнутая ку-
сочно-гладкая кривая L в пространстве R3 то криволинейный интеграл
                            C   a  τ 0 dl   Pdx  Qdy  Rdz ,
                                   L               L
называется циркуляцией векторного поля a( M ) вдоль контура L . Здесь τ 0 -
единичный вектор, направленный по касательной к кривой L и указываю-
щий направление обхода по контуру.
               
      Если a  F - вектор силы, то циркуляция равна работе этой силы
вдоль замкнутой кривой L .
      Ротором или вихрем векторного поля a( M )  ( P, Q, R) называется
вектор, обозначаемый rot a( M ) , координаты которого
 R Q P R Q P 
     ;    ;      , т.е. по определению
 y z z x x y 
                              R Q   P R   Q P 
                rot a( M )           i   z  x  j   x  y  k .
                              y   z                             
      Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса можно запи-
сать в векторной форме:
                               C   a  τ 0 dl   rot a  n0 dS ,
                                       L               S
т. е. циркуляция векторного поля a( M ) вдоль замкнутого контура L равна
потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S , краем ко-
торой является L .
                                       
       Символический вектор    , ,   i          j    k    называется
                                  x  y z    x     y    z
оператором Гамильтона. Символ  читается “набла”.

                                              68