Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
65
который называется поверхностным интегралом второго рода от функции
(, ,)
x
yza по поверхности S и обозначается
0
S
dS

an . Таким образом, по
определению

0
cos cos cos
SS
dS P Q R dS
 
an . (12.29)
Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами ли-
нейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на про-
тивоположную, т. е. при замене
0
n
на
0
n
, интеграл (12.29) изменяет знак.
Так как cos , cos , cosdS dydz dS dzdx dS dxdy  , то интеграл
(12.29) можно записать в виде
0
SS
dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
 
an . (12.30)
Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла
(12.29) к вычислению двойного интеграла:
0
(, ,) (, ,)
xy
SD
dS x y z x y z dxdy
 
an a n
, (12.31)
где область
x
y
D
является проекцией поверхности S на плоскость Oxy , по-
верхность S задается функцией
3
(, )zfxy
,
3
((,))
z
fxy
ngrad
. В двой-
ном интеграле переменную
z
следует заменить на
3
(, )
f
xy
. Приведем еще
две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного
интеграла второго рода:
0
(,,) (,,) (,,) (,,)
yz xz
SD D
dS x y z x y z dydz x y z x y z dxdz
  
an a n a n
, (12.32)
где области
yz
D
и
x
z
D
- соответственно проекции поверхности S на плоско-
сти Oyz и Oxz , поверхность S задается функциями
1
(,)
fyz
и
2
(,)yfxz
.
В двойном интеграле по области
yz
D
следует в подынтегральном выражении
заменить
x
функцией
1
(,)
f
yz
и принять
1
((,))
x
fyz
ngrad
, а в двойном
интеграле по
x
z
D
заменить у функцией
2
(,)
f
xz
и взять
2
((,))
y
fxz ngrad
. Отметим, что в выражениях для
n
знак « + » или «–»
ставится в зависимости от выбранной стороны поверхности S .
Интегралы в правых частях формулы (12.30) рассматривают как сумму
трех интегралов, для вычисления каждого из которых можно применить одну
из формул (12.31) или (12.32).
Поток векторного поля. Дивергенция 
ПГУ                                                       Каф ВиПМ
                         Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

который называется поверхностным интегралом второго рода от функции
                                                                                       0
a( x, y, z ) по поверхности S и обозначается                                 a  n       dS . Таким образом, по
                                                                             S
определению
                           a  n
                                      0
                                          dS    P cos   Q cos   R cos   dS .                       (12.29)
                          S                         S
     Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами ли-
нейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на про-
тивоположную, т. е. при замене n0 на n0 , интеграл (12.29) изменяет знак.
      Так как cos dS  dydz, cos  dS  dzdx, cos dS  dxdy , то интеграл
(12.29) можно записать в виде
                                           0
                               a  n         dS   Pdydz  Q dzdx  R dxdy .                             (12.30)
                              S                         S
      Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла
(12.29) к вычислению двойного интеграла:
                                               0
                                   a  n         dS       a( x, y, z )  n( x, y, z ) dxdy ,            (12.31)
                                  S                         Dxy
где область Dxy является проекцией поверхности S на плоскость Oxy , по-
верхность S задается функцией z  f3 ( x, y ) , n  grad( z  f3 ( x, y )) . В двой-
ном интеграле переменную z следует заменить на f3 ( x, y ) . Приведем еще
две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного
интеграла второго рода:
             0
   a  n       dS     a( x, y, z )  n( x, y, z ) dydz   a( x, y, z )  n( x, y, z ) dxdz ,          (12.32)
   S                    Dyz                                              Dxz
где области D yz и Dxz - соответственно проекции поверхности S на плоско-
сти Oyz и Oxz , поверхность S задается функциями x  f1 ( y , z ) и y  f 2 ( x, z ) .
В двойном интеграле по области D yz следует в подынтегральном выражении
заменить x функцией f1 ( y, z ) и принять n  grad( x  f1 ( y, z )) , а в двойном
интеграле по           Dxz       заменить у функцией         f 2 ( x, z ) и взять
n  grad( y  f 2 ( x, z )) . Отметим, что в выражениях для n знак « + » или «–»
ставится в зависимости от выбранной стороны поверхности S .
      Интегралы в правых частях формулы (12.30) рассматривают как сумму
трех интегралов, для вычисления каждого из которых можно применить одну
из формул (12.31) или (12.32).

                                      Поток векторного поля. Дивергенция

                                                                   65

Страницы