Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
60
max 0
1
(, ,) (, ,) (, ,) (, ,)
lim ( , , ) .
i
LL
n
iii i
l
i
x
yz dl Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
xyz l




a
a
(12.24)
Если функции (, ,), (, ,), (, ,)Pxyz Qxyz Rxyz непрерывны в точках
гладкой кривой
L
, то предел суммы (12.23) существует, т. е. существует кри-
волинейный интеграл второго рода (12.24).
Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свой-
ствами определенных интегралов (линейности, аддитивности). Непо-
средственно из определения криволинейного интеграла второго рода следует,
например, что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т е.
меняет знак при изменении ориентации кривой:
(, ,) (, ,)
A
BBA
x
yz dl xyz dl


aa
.
Если кривая интегрирования
L
замкнута, криволинейные интегралы
второго рода обозначаются
(, ,)
L
x
yz dl
a
. В этом случае через кривую
L
проводится ориентированная поверхность и за положительное направление
обхода контура
L
принимается направление против хода часовой стрелки.
Если гладкая кривая
L
задана параметрическими уравнениями
(), (), ()
x
xt y yt z zt где (), (), ()
x
tytzt - непрерывно дифференцируемые
функции, ( ( ), ( ), ( ))
A
xyz и ((), (), ())
B
xyz
 - соответственно начальная
и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисле-
ния криволинейного интеграла второго рода:

(, ,) (, ,) (, ,)
( (), (), ()) () ( (), (), ()) () ( (), (), ()) () .
AB
Pxyzdx Qxyzdy Rxyzdz
Pxt yt zt x t Qxt yt zt y t Rxt yt zt z t dt



(12.25)
Если кривая
L
лежит в плоскости Oxy , (, ) (, )Pxy Qxy
ai
j
, то
(, ,) 0
R
xyz , ( ) 0zt
и формула (12.25) упрощается:

( , ) ( , ) ( (), ()) () ( (), ()) () .
A
B
Pxydx Qxydy Pxt yt x t Qxt yt y t dt



Если кривая
L
лежит в плоскости Oxy и задана уравнением ()yfx
,
производная
()
f
x
непрерывна на отрезке
,ab, ( , ) ( , )Pxy Qxy
ai
j
, то

(, ) (, ) (, ()) (, ()) () .
b
A
Ba
Pxydx Qxydy Pxf x Qxf x f x dx


ПГУ                                                           Каф ВиПМ
                             Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
                                       
                   a ( x , y , z )  dl   P( x, y, z )dx  Q ( x, y, z )dy  R ( x, y, z )dz 
                  L                        L
                                                           n                                                       (12.24)
                                                                               
                                               lim        i i i i.
                                           max li  0 i 1
                                                           a ( x , y , z )  l

      Если функции P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) непрерывны в точках
гладкой кривой L , то предел суммы (12.23) существует, т. е. существует кри-
волинейный интеграл второго рода (12.24).
      Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свой-
ствами определенных интегралов (линейности, аддитивности). Непо-
средственно из определения криволинейного интеграла второго рода следует,
например, что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т е.
меняет знак при изменении ориентации           кривой:                  
                          a ( x , y , z )  dl    a ( x , y , z )  dl .
                                               AB                        BA
         Если кривая интегрирования L замкнута,        криволинейные интегралы
    второго рода обозначаются   a( x, y, z )  dl . В этом случае через кривую
                                                      L
 L проводится ориентированная поверхность и за положительное направление
 обхода контура L принимается направление против хода часовой стрелки.
       Если гладкая кривая L задана параметрическими уравнениями
 x  x(t ), y  y (t ), z  z (t ) где x(t ), y (t ), z (t ) - непрерывно дифференцируемые
функции, A( x(), y (), z ()) и B( x(), y (), z ()) - соответственно начальная
и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисле-
ния криволинейного интеграла второго рода:
 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz 
AB
                                                                                                                       (12.25)
     P( x(t ), y (t ), z (t )) x(t )  Q( x(t ), y (t ), z (t )) y(t )  R( x(t ), y (t ), z (t )) z (t )  dt.
    
           Если кривая L лежит в плоскости Oxy , a  P ( x, y )i  Q( x, y ) j , то
    R( x, y, z )  0 , z (t )  0 и формула (12.25) упрощается:
                                                      
                  P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P ( x(t ), y (t )) x(t )  Q ( x(t ), y (t )) y (t )  dt.
             AB                                       
         Если кривая L лежит в плоскости Oxy и задана уравнением y  f ( x) ,
    производная f ( x) непрерывна на отрезке  a, b  , a  P ( x, y )i  Q( x, y ) j , то
                                                                b
                            P ( x, y )dx  Q ( x, y )dy    P ( x, f ( x))  Q ( x, f ( x )) f ( x)  dx.
                        AB                                      a


                                                                60

Страницы