Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
58
4) Если в точках кривой АВ
12
(, ,) (, ,)
f
xyz f xyz
, то
12
(, ,) (, ,)
A
BAB
f
xyzds f xyzds

.
5)
(, ,) (, ,
AB AB
f
xyzds f xyzds

.
6) Если (, ,) 1
f
xyz , то
0
1
lim ( );
n
i
i
A
B
dl l l AB


где ()lAB – длина
дуги
A
B
,
max
i
l
.
7) Теорема о среднем.
Если функция (, ,)
xyz непрерывна на кривой
A
B
, то на этой кривой
существует точка
111
(, ,)
x
yz
такая, что
111
(, ,) ( , , ) ( )
A
B
f
xyzdl f x y z lAB
.
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо опре-
делить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
В случае, когда гладкая кривая
L
задана параметрическими уравне-
ниями (), (), ()
x
xt y yt z zt и параметр
t
изменяется монотонно на от-
резке
,( ) при перемещении по кривой
L
из точки А в точку В,
верна формула для вычисления криволинейного интеграла
222
( , , ) ( (), (), ()) () () ()
A
B
f
xyzdl f xt yt zt x t y t z t dt



. (12.21)
Длина дуги
A
B
равна:
222
( ) () () ()lAB x t y t z tdt


.
В случае плоской кривой формула (12.21) упрощается.
22
( , ) ( (), ()) () ()
A
B
f
xydl f xt yt x t y t dt



. (12.22)
Если уравнение плоской кривой ()
 задано в полярных ко-
ординатах, функция () и ее производная
()
непрерывны, то имеет ме-
сто частный случай формулы (12.22), где в качестве параметра
t
взят поляр-
ный угол
:
22
(,) (()cos, ()sin )
B
A
AB
f
xydl f d


, 
ПГУ                                                     Каф ВиПМ
                       Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

      4) Если в точках кривой АВ f1 ( x, y, z )  f 2 ( x, y, z ) , то

                                              f1 ( x, y, z ) ds           f 2 ( x, y, z ) ds .
                                      AB                             AB

      5)       f ( x, y, z )ds             f ( x, y, z ds .
           AB                       AB
                                                                         n
      6) Если          f ( x, y, z )  1 , то           dl  lim      li  l ( AB);
                                                                 0 i 1
                                                                                                    где l ( AB) – длина
                                                    AB
дуги AB ,   max li .
     7) Теорема о среднем.
     Если функция f ( x, y, z ) непрерывна на кривой AB , то на этой кривой
существует точка ( x1 , y1 , z1 ) такая, что

                                            f ( x, y, z )dl  f ( x1 , y1 , z1 )  l ( AB ) .
                                    AB
      Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо опре-
делить его связь с обыкновенным определенным интегралом.
      В случае, когда гладкая кривая L задана параметрическими уравне-
ниями x  x(t ), y  y (t ), z  z (t ) и параметр t изменяется монотонно на от-
резке  ,  (  ) при перемещении по кривой L из точки А в точку В,
верна формула для вычисления криволинейного интеграла
                               
          f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t )) x2 (t )  y 2 (t )  z 2 (t ) dt .                (12.21)
      AB                      
                                                            
      Длина дуги AB равна: l ( AB)   x2 (t )  y 2 (t )  z 2 (t ) dt .
                                                            
В случае плоской кривой формула (12.21) упрощается.
                                         
                       f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t )) x2 (t )  y 2 (t ) dt .                           (12.22)
                  AB                     
      Если уравнение плоской кривой   () задано в полярных ко-
ординатах, функция () и ее производная () непрерывны, то имеет ме-
сто частный случай формулы (12.22), где в качестве параметра t взят поляр-
ный угол  :
                                              B
                           f ( x, y )dl          f (()cos , ()sin ) 2  2 d  ,
                       AB                     A


                                                            58

Страницы