Контрольные задания по высшей математике и методические указания к их выполнению. Романова Л.Д - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ПГУ Каф ВиПМ
Контрольная работа № 7
49
uv
uv uv x
x

.
Сгруппируем первое и третье слагаемые и функцию v(х) вынесем за скобки:
()
u
vu uv x
x
. (2)
Находим u(x) из условия
0
u
u
x
, которое является дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными:
,, ,lnln,.
du u du dx du dx
uxux
dx x u x u x


Полученное выражение для u(x) подставим в уравнение (2):
1
,1, , 1, ,
dv dv
x
vxv v dvdxvxC
dx dx


Следовательно,
2
11
() ( )
p
xxxC x Cx. Но ()
dy
px y
dx
 , поэтому
22 2
11 1
,( ), ( ).
dy
x
Cx dy x Cxdx dy x Cxdx
dx


Проинтегрировав, получим общее решение исходного уравнения
32
12
32
xx
yCC

.
361-370. Найти частное решение дифференциального уравнения, до-
пускающего понижение порядка
3
() 0yyy

, удовлетворяющее началь-
ным условиям
(0) 1, (0) 2yy

.
Решение.
Понизим порядок уравнения с помощью подстановки
()ypy
, тогда
() ()ypyyppy


. Подставим в уравнение:
32
( ) 0, ( ( ) ) 0, 0, 0, .
p
py yp ppy yp p y y C


Исходя из начальных условий, получим: 1, 1.Cy
Далее:
2
22
1
2
1
() 0, , , ,
2
dp dp y
p
yyp yp ydy C
dy p
p

22
11
22
,.
22
py
yC yC


Исходя из начальных условий найдём С
1
(
2y
при 1y ):
11
1
2
2,121,0.
12
CC
C

Следовательно, дальше
продолжаем решать уравнение
2
2
.y
y
ПГУ                                                    Каф ВиПМ
                                    Контрольная работа № 7

                                                uv
                                        u v  uv  x.
                                                 x
Сгруппируем первое и третье слагаемые и функцию v(х) вынесем за скобки:
                                                 u
                                         v(u   )  uv  x .                 (2)
                                                 x
                                  u
Находим u(x) из условия u    0 , которое является дифференциальным
                                  x
уравнением с разделяющимися переменными:
              du u du dx              du       dx
                  ,         ,            , ln u  ln x , u  x.
              dx x        u    x       u        x
Полученное выражение для u(x) подставим в уравнение (2):
                                    dv dv
             xv  x, v  1, v  ,             1, dv  dx, v  x  C1
                                    dx dx
                                                                    dy
Следовательно, p ( x)  x( x  C1 )  x 2  C1 x . Но p ( x)  y   , поэтому
                                                                    dx
dy
    x 2  C1x, dy  ( x 2  C1x)dx,  dy   ( x 2  C1x)dx.
dx
Проинтегрировав, получим общее решение исходного уравнения
                                           x3      x2
                                      y       C1     C2 .
                                           3       2

     361-370. Найти частное решение дифференциального уравнения, до-
пускающего понижение порядка y   y ( y )3  0 , удовлетворяющее началь-
ным условиям y (0)  1, y (0)  2 .
      Р е ш е н и е . Понизим порядок уравнения с помощью подстановки
y  p ( y ) , тогда y   p ( y )  y   p  p ( y ) . Подставим в уравнение:
 

 p  p( y )  yp3  0, p( p ( y )  yp 2 )  0, p  0, y   0,   y  C.
Исходя из начальных условий, получим: C  1, y  1.
                                  dp              dp           1 y2
Далее: p ( y )  yp 2  0,            yp 2 ,       ydy,        C1 ,
                                  dy                2          p 2
                                                  p
         2                    2
p                ,   y         . Исходя из начальных условий найдём С1
      y 2  2C1         y 2  2C1
                              2
( y   2 при y  1 ): 2          , 1  2C1  1, C1  0. Следовательно, дальше
                           1  2C1
                                          2
продолжаем решать уравнение y             .
                                         y2


                                                49

Страницы