Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

103
Решение. Упростим функцию, воспользовавшись свойствами ло-
гарифма:
2
2
1 54 1 1
ln ln(5 4 ) ln( 8 10)
4 44
8 10
x
y x xx
xx

−
= = + − +−

+−

, а затем
продифференцируем. Получим
2
2
2
1 1 1 (5 4 ) 1 ( 8 10)
ln(5 4 ) ln( 8 10)
4 4 4 54 4
8 10
x xx
y x xx
x
xx
′
′′
+ +−

′
= + − + − =⋅ −⋅ =

+

+−
22
22
1 4 2 8 1 4 32 40 10 8 40 32
45 4 4
8 10 (4 5)( 8 10)
x x x xx x
x
xx xxx


+ + −− − −−
=−= =



+
+− + +−


22
22
1 4 10 80 2,5 20
.
4
(4 5)( 8 10) (4 5)( 8 10)
xx x x
xxx xxx
−−− + +
=⋅=−
+ +− + +−
Пример 5.
( )
2
arcsin
x
yx=
.
Решение. Применим метод логарифмического дифференцирова-
ния. Прологарифмируем данную функцию
( ) ( )
2
ln ln arcsin , ln 2 ln arcsin
x
y x yx x= = ⋅
. Продифференцируем
обе части полученного выражения
( )
(ln ) 2 ln(arcsin )yx x
′
′
=⋅⇒
( )
( )
( )
( )
ln arcsin
(2 ) ln arcsin 2 ln arcsin 2
x
y
x xx x x
y
x
′
′
′
= ⋅ +⋅ = +⋅
( )
( )
ln arcsin
1
.
arcsin 1
x
x
xx
= +
−
Отсюда следует, что 
         Р е ш е н и е . Упростим функцию, воспользовавшись свойствами ло-
                  1  5 − 4x  1                        1
гарифма: =    y     ln             =    ln(5 + 4 x) − ln( x 2 + 8 x − 10) , а затем
                  4  x 2 + 8 x − 10  4                4
продифференцируем. Получим
        1               1                ′ 1 (5 + 4 x)′ 1 ( x 2 + 8 x − 10)′
 y ′ =  ln(5 + 4 x) − ln( x + 8 x − 10)  = ⋅
                              2
                                                            − ⋅                     =
       4                4                 4 5 + 4x           4 x 2 + 8 x − 10
    1 4              2 x + 8  1  4 x 2 + 32 x − 40 − 10 x − 8 x 2 − 40 − 32 x 
=              −               =                                              =
    4  5 + 4 x x 2 + 8 x − 10  4                      2
                                              (4 x + 5)( x + 8 x − 10)           
                                                                                 
    1     −4 x 2 − 10 x − 80            x 2 + 2,5 x + 20
    = ⋅                          =
                                 −                            .
    4 (4 x + 5)( x 2 + 8 x − 10)   (4 x + 5)( x 2 + 8 x − 10)

                                               (                   )
                                                                       2 x
              П р и м е р 5 . y = arcsin x                                   .
      Р е ш е н и е . Применим метод логарифмического дифференцирова-
ния. Прологарифмируем данную функцию

                      (                  )                                           (            )
                                             2 x
        =
        ln y ln arcsin x                             =
                                                   , ln y 2 x ⋅ ln arcsin x . Продифференцируем
обе части полученного выражения

(ln y )′ =        (         ′
         2 x ⋅ ln(arcsin x ) ⇒                             )
                                                                                                      (       )
    y′
    y
                                  (               ′ ln arcsin x
      = (2 x )′ ⋅ ln arcsin x + 2 x ⋅ ln arcsin x =)       x
                                                                   ( (
                                                                +2 x⋅                    ))
                            ′ ln arcsin x                      (                 )
⋅
              1
                 ⋅ arcsin
                       =  x   (           +2 x⋅)    1
                                                         ⋅
                                                            1
                                                              =⋅
                                                                 1
    (   arcsin x          )          x          arcsin x   1− x 2 x                           (           )
=
          (
        ln arcsin x               )+                   1
                                                                       .
                  x                    ( arcsin x )            1− x
Отсюда следует, что




                                                                           103

Страницы