Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

105
Пример 2.
3
2 sin 2 ,
8sin .
xt t
yt
= −
=
Р е ш е н и е. Применим формулы дифференцирования функций,
заданных параметрически
3222
2
( ) (8sin ) 24sin cos 24sin cos 24sin cos
6cos ;
( ) (2 sin 2 ) 2 2cos2 2(1 cos2 )
2 2sin
dyyt t tt tt tt
t
dx x t t t t t
t
′′
= = = = = =
′′
−− −
⋅
2
22
(6cos ) 6sin 3
.
( ) (2 sin2 ) 2sin
4sin
t
dy
dx
dy t t
xt t t t
dx t
′


′
−

= = = = −
′′
−
151-160. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
а)
3
84
, б)
arctg0,98
.
Пример 1.
3
84
.
Решение. Представим данную величину в виде
33
84 64 20
= +
и
введём функцию
, где
0
xx x
= +∆
и
0
64; 20xx= ∆=
. Воспользуем-
ся формулой (7.5) :
0 00
( ) () ()yx x yx y x x
′
+∆ ≈ + ⋅∆
.
Вычислим
3
0
( ) 64 4,yx = =
3
2
1 11
, (64)
3 16 48
3
yy
x
′′
= = =
⋅
. Следователь-
но,
3
20
84 4 4,42
48
≈+ =
.
Пример 2.
arctg0,98
.
Решение. Аналогично предыдущему:
0
arctg , 1, 0,02,y xx x= = ∆=−
0
2
1
( ) arctg1 , , (1) 0,5.
4
1
yx y y
x
π
′′
= = = =
+
arctg0,98 4 0,5 0,2 0,77.≈π − ⋅ =
161-170. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
Р е ш е н и е. 
                            =x 2t − sin 2t ,
              Пример 2.               3
                             y = 8sin t.
      Р е ш е н и е. Применим формулы дифференцирования функций,
 заданных параметрически
  dy y ′(t )  (8sin 3 t )′        24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t 24sin 2 t cos t
== = = = = 6cos t ;
  dx x′(t ) (2t − sin 2t )′ 2 − 2cos 2t           2(1 − cos 2t )   2 ⋅ 2sin 2 t
                dy ′
                
        d 2 y  dx  t       (6cos t )′       −6sin t       3
             =           =                  =         = −        .
        dx 2     x ′(t )   (2t − sin 2t ) ′       2
                                              4sin t      2sin t

                 151-160. Вычислить приближённо с помощью дифференциала
              а) 3 84 , б) arctg 0,98 .
              П р и м е р 1 . 3 84 .
              Р е ш е н и е . Представим данную величину в виде 3=
                                                                 84 3 64 + 20 и
        введём функцию y = 3 x , где x= x0 + ∆x и x0= 64; ∆=           x 20 . Воспользуем-
        ся формулой (7.5) : y ( x0 + ∆x) ≈ y ( x0 ) + y ′( x0 ) ⋅ ∆x .
                                                    1                     1    1
        Вычислим y (=
                    x0 ) 3=
                          64 4,=y′                           , y′(64)
                                                                 =       =        . Следователь-
                                                   3
                                                 3 x2                   3 ⋅ 16 48
                        20
        но, 3 84 ≈ 4 +     = 4,42 .
                        48
              П р и м е р 2 . arctg 0,98 .
               Р е ш е н и е . Аналогично предыдущему:
                                                          π         1
        y =arctg x, x0 =1, ∆x =−0,02, y=            = =
                                            ( x0 ) arctg1   , y′         y ′(1) 0,5.
                                                                        ,=
                                                          4      1 + x2
        arctg 0,98 ≈ π 4 − 0,5 ⋅ 0,2 =0,77.

              161-170. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы.
              Р е ш е н и е.




                                                       105

Страницы