Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

106
а)
2
2
1 sin
lim
tg 2
x
x
x
π
→
−
. При
2
x
π
→
получаем неопределённость
0
0
. Применя-
ем правило Лопиталя:
22
22
1 sin (1 sin )
lim lim
tg 2 (tg 2 )
xx
xx
xx
ππ
→→
′
−−
= =
′
33
2
22 2
3
2
cos cos 2 cos 1 cos 2 cos
lim lim lim
2
4sin 2 4 2sin cos
2tg2
cos 2
1 cos 2 1 1 1
lim .
8 sin 8 1 8
xx x
x
x xx xx
x xx
x
x
x
x
ππ π
→→ →
π
→
−−
= ==−=
⋅
−
=− =−⋅ =
б)
3 (4 ln )
0
lim
x
x
x
+
→
. Имеем неопределённость вида
0
0
.
Обозначим
.
yx
=
Тогда
3 (4 ln )
3
ln ln ln
4 ln
x
yx x
x
+
= = ⋅
+
,
0 0 0 00
3
3ln (3ln ) 3
lim ln lim lim lim lim 3
1
4 ln (4 ln ) 1
x x x xx
xx
x
y
xx
x
→ → → →→
′
∞

= = = = = =

′
+∞ +

.
Так как
3 (4 ln )
0
ln lim 3
x
x
x
+
→
=
, то
3 (4 ln ) 3
0
lim
x
x
x е
+
→
=
.
171-180. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа к функции
()=
x
fx e
, вычислить значение
0,12
e
с точностью
0,001.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (7.11), из которой сле-
дует
23
0
1 ...
2! 3! !
n
n
a
k
k
aa a
еa u
n
=
≈+ + + + + =
∑
.
Значение
0,12a =
принадлежат отрезку
[0; 0,5]
, следовательно,
0 0,5x<θ <
и
0,5
2
x
ее
θ
<<
;
11
2
( 1)! ( 1)!
nn
x
n
aa
R е
nn
++
θ
= <
++
. 
             1 − sin x                          π                          0
  а) lim                 .        При x →         получаем неопределённость . Применя-
           π tg 2 2 x                           2                          0
      x→
           2
                           1 − sin x       (1 − sin x)′
ем правило Лопиталя: =lim             =
                                      lim
                         π               π
                                     x → (tg 2 x)′
                              2                2
                     x → tg 2 x
                                            2              2
           − cos x            − cos3 2 x cos x  1      cos3 2 x cos x
 =lim                   =lim                   =
                                               − lim                  =
     π             2        π     4sin 2 x      4    π 2sin x cos x
 x → 2 tg 2 x ⋅         x→                        x→
     2             2        2                        2
                cos 2 x
      1     cos3 2 x   1 −1 1
 =−     lim          =− ⋅  =.
      8    π sin x     8 1 8
       x→
             2
              3 (4 + ln x )
  б) lim x                    .         Имеем неопределённость вида 00 .
      x →0

Обозначим y = x3 (4 + ln x ) . Тогда=            + ln x )                3
                                    ln y ln x3 (4=                             ⋅ ln x ,
                                                                      4 + ln x
                                                        3
                 3ln x   ∞          (3ln x) ′         x lim   3
lim =ln y lim       = =      lim          = lim=           = 3.
x →0      x → 0 4 + ln x  ∞  x → 0 (4 + ln x )′ x → 0 1 x → 0 1
                                                        x
Так как ln lim x3 (4 + ln x ) = 3 , то lim x3 (4 + ln x ) = е3 .
               x →0                               x →0
       171-180. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа к функции f ( x) = e x , вычислить значение e0,12 с точностью
0,001.
       Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (7.11), из которой сле-
дует
                            a 2 a3          an    n
                  е ≈1+ a +    +  a
                                    + ... +    =∑ uk .
                            2! 3!           n! k = 0
Значение a = 0,12 принадлежат отрезку [0; 0,5] , следовательно,
                       θx             0,5  a n +1 θ x 2a n +1
0 < θx < 0,5 и е              <е =
                                 < 2 ; Rn          е <          .
                                          (n + 1)!     (n + 1)!




                                                     106

Страницы