Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 109 стр.

      1) Если функция f ( x) имеет производную на отрезке [ a; b ] и возрас-
тает (убывает) на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотри-
цательна (неположительная), т.е. f ′( x) ≥ 0 ( f ′( x) ≤ 0 ).
     2) Если f ( x) функция непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференци-
руема на промежутке (a; b) , причем f ′( x) > 0 ( f ′( x) < 0 ) , то эта функция
возрастает (убывает) на отрезке [ a; b ] .
          Точка x1 называется точкой локального максимума функции f ( x) ,
если для любых достаточно малых ∆x                 выполняется неравенство
 f ( x1 ) > f ( x1 + ∆x) . Точка x2 называется точкой локального минимума
функции f ( x) , если для любых достаточно малых ∆x выполняется нера-
венство f ( x1 ) < f ( x1 + ∆x) .
      Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь мак-
симум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка.
Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и
наименьшим значением на отрезке – эти понятия принципиально различ-
ные.
      Точки локального максимума и минимума функции называются
точками экстремума.
      Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума) Если
функция f ( x) имеет в точке x0 экстремум, то производная функции в
этой точке f ′( x0 ) обращается в нуль или не существует.
      Обратное утверждение неверно. Если производная функции в неко-
торой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция
имеет экстремум.
      Точки, в которых производная функции не существует или равна ну-
лю, называются критическими точками.
      Если f ′( x0 ) = 0 или не существует, то из этого ещё не следует, что в
точке x0 функция имеет экстремум. Для его определения требуется даль-
нейшее исследование.
      Теорема 2. (Первый достаточный признак существования экстре-
мума). Пусть функция f ( x) непрерывна на интервале (a; b) , содержащем
критическую точку x = x0 , и дифференцируема во всех точках этого ин-
тервала (кроме, быть может, самой точки x0 ).
     Если при переходе через точку x = x0 слева направо производная
функции f ′( x) меняет знак с “ + ” на “ − “, то в точке x = x0 функция f ( x)


                                      108