Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 110 стр.

имеет максимум, а если производная меняет знак с “ − “ на “ + ”, то функ-
ция имеет минимум.
     Пусть в точке x = x0 f ′( x0 ) = 0 и f ′′( x) существует и непрерывна в
некоторой окрестности точки x0 .
     Теорема 3. (Второй достаточный признак существования экстре-
мума). Если f ′( x0 ) = 0 , то функция f ( x) в точке x = x0 имеет максимум,
если f ′′( x0 ) < 0 и минимум, если f ′′( x0 ) > 0 .
      В случае, когда f ′′( x0 ) = 0 , то точка x = x0 может и не быть точкой
экстремума.

                Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
      Кривая, заданная функцией y = f ( x) , называется выпуклой на интер-
вале (a; b) , если все ее точки лежат не выше любой ее касательной на этом
интервале, и вогнутой на интервале (a; b) , если все ее точки лежат не
ниже любой ее касательной на этом интервале.
      Точка кривой M ( x0 , f ( x0 )) , отделяющая выпуклую часть графика
от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 38).
                           y



                                                          y = f ( x)
                                         M0


                                                                  x
                       O                   x0

                                   Рис. 38
      Теорема 4. (Достаточное условие выпуклости (вогнутости) гра-
фика функции). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная
функции y = f ( x) отрицательна (положительна), т.е. f ′′( x) < 0 ( f ′′( x) > 0 ),
то кривая y = f ( x) на этом интервале является выпуклой (вогнутой.).
      Теорема 5. (Достаточный признак точки перегиба). Если в точке
x = x0 вторая производная f ′′( x0 ) = 0 или f ′′( x0 ) не существует и при пе-



                                        109