Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

110
реходе через точку
0
xx=
()fx
′′
меняет знак, то точка кривой с абсцис-
сой
0
xx=
является точкой перегиба.
Асимптоты
Прямая
L
называется асимптотой кривой
()y fx=
, если расстоя-
ние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении точки от начала координат.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты
могут быть вертикальные и наклонные. Исследование функций на наличие
асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить ха-
рактер функции и поведение графика кривой.
Вертикальные асимптоты
Из определения асимптоты следует, что если
0
lim ( )
→+
= ±∞
xa
fx
или
0
lim ( )
→−
= ±∞
xa
fx
, или
lim ( )
→
= ±∞
xa
fx
, то прямая
является асимпто-
той кривой
()y fx=
.
Например, для функции
2
()
5
fx
x
=
−
прямая
5x =
является верти-
кальной асимптотой, так как
5
2
lim
5
→
= ±∞
−
x
x
.
Наклонные асимптоты
Если существуют пределы
()
lim
x
fx
k
x
→±∞
=
,
[ ]
lim ( )
x
b f x kx
→±∞
= −
, (8.1)
то прямая
y kx b= +
является наклонной асимптотой кривой
()y fx=
. Ес-
ли хотя бы один из пределов (8.1) равен бесконечности или не существует,
то наклонных асимптот кривая не имеет. Если существуют пределы
1
()
lim
→−∞
=
x
fx
k
x
и
[ ]
11
lim ( )
→−∞
= −
x
b f x kx
, то прямая
11
= +y kx b
является
левосторонней наклонной асимптотой кривой. Если существуют пределы
2
()
lim
→+∞
=
x
fx
k
x
и
[ ]
22
lim ( )
→+∞
= −
x
b fx kx
, то прямая
22
= +y kx b
является
правосторонней наклонной асимптотой кривой. 
реходе через точку x = x0 f ′′( x) меняет знак, то точка кривой с абсцис-
сой x = x0 является точкой перегиба.

                                Асимптоты
      Прямая L называется асимптотой кривой y = f ( x) , если расстоя-
ние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении точки от начала координат.
     Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты
могут быть вертикальные и наклонные. Исследование функций на наличие
асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить ха-
рактер функции и поведение графика кривой.

                          Вертикальные асимптоты
        Из определения асимптоты следует, что если lim                    f ( x) = ±∞ или
                                                               x →a + 0
  lim     f ( x) = ±∞ , или lim f ( x) = ±∞ , то прямая x = a является асимпто-
x →a −0                    x →a
той кривой y = f ( x) .
                                              2
        Например, для функции f ( x) =           прямая x = 5 является верти-
                                             x−5
                                         2
кальной асимптотой, так как lim              = ±∞ .
                                  x →5 x − 5
                                 Наклонные асимптоты
       Если существуют пределы
                                     f ( x)
                        k = lim=            , b       lim [ f ( x) − kx ] ,        (8.1)
                              x →±∞ x               x →±∞
то прямая = y kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f ( x) . Ес-
ли хотя бы один из пределов (8.1) равен бесконечности или не существует,
то наклонных асимптот кривая не имеет. Если существуют пределы
                            lim [ f ( x) − k1x ] , то прямая =
           f ( x)
k1 = lim =         и b1                                            y k1x + b1 является
    x →−∞ x               x →−∞
левосторонней наклонной асимптотой кривой. Если существуют пределы
                            lim [ f ( x) − k2 x ] , то прямая =
            f ( x)
k2 = lim =         и b2                                            y k2 x + b2 является
     x →+∞ x              x →+∞
правосторонней наклонной асимптотой кривой.



                                          110

Страницы