Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

104
( )
( )
( )
( )
( )
2
ln arcsin
1
arcsin 1
ln arcsin
1
arcsin .
arcsin 1
x
x
yy
x
xx
x
x
x
xx


′
=⋅+ =

−



=⋅+

−

311-140. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
3
2
43yx x= −
в точке
0
(1;1)M
.
Р е ш е н и е.
00
()1y fx= =
. Найдём
3
2 13
3
22
()43 43 4
3
fx x x x
x
−
′

′
= − =−⋅ =−


. Вычислим
0
3
1
2
() 4 2
x
fx
x
=

′
=−=


. Подставим в уравнение касательной (7.1), полу-
чим:
1 2( 1) 2 1y x yx=+ −⇒= −
или
.
Подставим в уравнение нормали (7.2) значения функции
()y fx=
и её
производной в точке
0
1x =
, получим:
1 13
1 ( 1)
2 22
y x yx=− −⇒=− +
или
2 30xy+ −=
.
141-150. Для данных функций найти
dy
dx
и
2
2
dy
dx
.
Пример 1.
3
sin3 .yx x=
Р е ш е н и е.
3 3 3 23
( sin3 ) ( ) sin3 (sin3 ) 3 sin3 3 cos3 ;
dy
y x x x xx x x x x x
dx
′ ′′ ′
== = ⋅ +⋅ = +
2
23 2 2
2
32
(3 sin3 3 cos3 ) 6 sin3 9 cos3 9 cos3
9 sin3 3 ((2 3 )sin3 6 cos3 ).
dy
y x xx x x xx xx x
dx
x xx x xx x
′′ ′
== + =++−
−=− +
y′ =y⋅ 
                  (
        ln arcsin x
                      +
                             )  1
                                         
                                         =
       
       
                x                    (
                         arcsin x 1 − x 
                                            )
             2 x  ln arcsin x   (       )        
  (
= arcsin x        ⋅  )          +
                                           1      .
                    
                    
                          x                      (
                                   arcsin x 1 − x 
                                                          )
          311-140. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
              3
y 4 x − 3 x 2 в точке M 0 (1;1) .
=
  Р е ш е н и е. =y0 f= ( x0 ) 1 . Найдём
                             ′
 f ′( x) =  4 x − 3 x 2  = 4 − 3 ⋅ x −1 3 = 4 −
                     3                 2             2
                                                       . Вычислим
                                     3            3x

                    2 
 f ′( x0 ) =  4 − 3          2 . Подставим в уравнение касательной (7.1), полу-
                               =
                     x  x =1
чим:
                      y =1 + 2( x − 1) ⇒ y =2 x − 1 или 2 x − y − 1 =0.
Подставим в уравнение нормали (7.2) значения функции y = f ( x) и её
производной в точке x0 = 1 , получим:
                           1                1   3
                      y =−
                         1   ( x − 1) ⇒ y =− x+   или x + 2 y − 3 =0.
                           2                2   2

                                            dy   d2y
          141-150. Для данных функций найти    и      .
                                            dx      2
                                                 dx
          П р и м е р 1 . y = x3 sin 3x.
          Р е ш е н и е.
dy
   = y ′ =( x3 sin 3x)′ =( x3 )′ ⋅ sin 3x + x3 ⋅ (sin 3x)′ =3x 2 sin 3x + 3x3 cos3x;
dx
d2y
         y ′′ =
         =    (3 x 2 sin 3 x + 3 x3 cos3 x)′ =
                                             6 x sin 3 x + 9 x 2 cos3 x + 9 x 2 cos3 x −
     2
dx
−9 x3 sin 3 x =
              3 x((2 − 3 x 2 )sin 3 x + 6 x cos3 x).




                                                     104

Страницы