Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

115
22
22
2( 3)( 4) ( 3) 8 33
( 4) ( 4)
xx x xx
y
xx
+ −−+ −−
′
= =
−−
.
Из условия у' = 0 следует
2
8 33 0xx−−=
, откуда
12
11, 3xx= = −
.
На интервале
( ; 3) 0y
′
−∞ − >
, следовательно, функция возрастает на этом
интервале. На интервале
( 3; 4)−
у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому
функция в точке
3x = −
имеет локальный максимум:
max
( 3) 0−=y
. На ин-
тервале (4; 11) у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале;
на интервале
(11; )+∞
у' > 0, т. е. функция возрастает. В точке
11x =
функция имеет локальный минимум:
.
6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и опреде-
лим точки перегиба. Для этого найдем
22
43
(2 8)( 4) ( 8 33) 2( 4) 98
( 4) ( 4)
xx xx x
y
xx
− − − −− ⋅ −
′′
= =
−−
.
Очевидно, что на интервале
( ; 4) 0y
′′
−∞ <
, и на этом интервале кривая вы-
пукла; на интервале
(4; ) 0y
′′
+∞ >
, т. е. на этом интервале кривая вогну-
та. Так как при
4x =
функция не определена, то точка перегиба отсутству-
ет.
7. Находим наклонные асимптоты
y kx b= +
:
2
( ) ( 3)
lim lim 1
( 4)
xx
fx x
k
x xx
→±∞ →±∞
+
= = =
−
,
( )
2
( 3) 10 9
lim ( ) lim lim 10.
44
→±∞ →±∞ →±∞

++
= − = −= =


−−

xx x
xx
b f x kx x
xx
Таким образом, существует единственная наклонная асимптота
10yx= +
.
8. Строим график функции (рис. 40)
y
′
y
+ – +
11
min
–3
max 
    2( x + 3)( x − 4) − ( x + 3)2 x 2 − 8 x − 33
=y′ =                                            .
              ( x − 4)2              ( x − 4)2
   Из условия у' = 0 следует x 2 − 8 x − 33 =
                                            0 , откуда x1 = 11, x2 = −3 .
                                  +           –         +   y′

                                      –3          11        y
                                      max         min

   На интервале (−∞; − 3) y ′ > 0 , следовательно, функция возрастает на этом
   интервале. На интервале (−3; 4) у' < 0, т. е. функция убывает. Поэтому
   функция в точке x = −3 имеет локальный максимум: ymax (−3) =     0 . На ин-
   тервале (4; 11) у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале;
   на интервале (11; + ∞) у' > 0, т. е. функция возрастает. В точке x = 11
   функция имеет локальный минимум: ymin (11) = 28 .
      6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и опреде-
   лим точки перегиба. Для этого найдем
                  (2 x − 8)( x − 4)2 − ( x 2 − 8 x − 33) ⋅ 2( x − 4)     98
              y ′′ =                                                            .
                                              4                               3
                                     ( x − 4)                        ( x − 4)
   Очевидно, что на интервале (−∞; 4) y ′′ < 0 , и на этом интервале кривая вы-
   пукла; на интервале (4; + ∞) y ′′ > 0 , т. е. на этом интервале кривая вогну-
   та. Так как при x = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутству-
   ет.
       7. Находим наклонные асимптоты =         y kx + b :
                                  f ( x)       ( x + 3)2
                =k           =lim          lim= 1 ,
                            x →±∞ x      x →±∞ x ( x − 4)
                                            ( x + 3)2           10 x + 9
    =     b      lim ( f (=
                          x) − kx )   lim          =  − x   lim = 10.
               x →±∞                x →±∞  x − 4         x →±∞ x − 4
                                                          
   Таким образом, существует единственная наклонная асимптота
   y= x + 10 .
       8. Строим график функции (рис. 40)




                                            115

Страницы