Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

117
6. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:
2 22
22 2
2 222 2 2
2
1 2 (1 ) ( 2 1 )
x xx
xx x
x xå x xå xå x
y
åå å
′

− − − − ⋅ −−+
′′
= = = =



2
2
2
( 3)
.
x
xx
å
−
=
Если
0y
′′
=
, то
2
( 3) 0xx −=
, откуда следует
1
0,x =
2
3,x = −
3
3x =
.
Так как в точках
вторая производная у" меняет знак, то
при этих значениях
x
на графике функции получаем точки перегиба, ор-
динаты которых:
32
3
( 3) 0,4, (0) 0yy
е
± =± ≈± =
.
7. Ищем наклонные асимптоты
y kx b= +
:
2
2
() 1
lim lim 0;
→±∞ →±∞
= = =
x
xx
fx
k
x
å
( )
22
22
1
lim ( ) lim lim 0
xx
x xx
x
b f x kx
е xе
→±∞ →±∞ →±∞
= −= = =
.
Получаем горизонтальную асимптоту
0y =
.
8. Полученные данные позволяют построить график функции (рис. 41).
y
′′
y
3−
0
3
– + – +
0,6
-0,6
Рис. 41 
     6. Исследуем свойства функции, связанные со второй производной:
      1 − x 2 ′ −2 xåx 2 − (1 − x 2 ) ⋅ xåx 2 xåx 2 (−2 − 1 + x 2 )
                        2                    2     2

=y′′ =                               =                   =
      x2 2                   x2                        x2
     å                     å                         å
         x( x 2 − 3)
     =       2
                       . Если y ′′ = 0 , то x( x 2 − 3) =
                                                        0 , откуда следует x1 = 0,
         åx 2
   x2 = − 3, x3 = 3 .

                                 –         +           –          +   y ′′

                                     − 3       0             3        y


  Так как в точках x =
                     ± 3, x = 0 вторая производная у" меняет знак, то
  при этих значениях x на графике функции получаем точки перегиба, ор-
  динаты которых:
                                                   3
                               y (± 3) = ±
                                    ≈ ±0,4, y (0) = 0 .
                               е3 2
     7. Ищем наклонные асимптоты =y kx + b :
                                     f ( x)         1
                       =k      =lim           =
                                              lim   2
                                                          0;
                              x →±∞ x       x →±∞ åx 2
                                               x             1
       =    b    lim ( f ( x=
                            ) − kx )    lim =   2
                                                      lim =   2
                                                                0.
               x →±∞                  x →±∞ е x 2 x →±∞ xе x 2
  Получаем горизонтальную асимптоту y = 0 .
     8. Полученные данные позволяют построить график функции (рис. 41).




                                                   0,6



                                                           -0,6


                                                   Рис. 41


                                                    117

Страницы