Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

119
() 0fx
′′
>
при
( ; 3)x∈−∞−
, кривая вогнута;
() 0fx
′′
<
при
( 3; 0) (0; )x∈ − ∪ +∞
, кривая выпукла. Так как в окрестности точки
2
3x = −
вторая производная меняет знак, то М(–3; 0) является точкой перегиба.
Точка
3
0x =
не является точкой перегиба, так как в ее окрестности знак
()
′′
fx
не меняется.
7. Ищем наклонные асимптоты
:
2
3
3
( 3)
() 3
lim lim lim 1 1
xx x
xx
fx
k
xx x
→±∞ →±∞ →±∞
+
= = = +=
( )
2
3
23 2
42 2 2 42 2 2
33 33
lim ( ) lim ( 3)
( 3) 3
lim lim
( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
xx
xx
b f x kx x x x
xx x x
xx xxx x xx xxx x
→±∞ →±∞
→±∞ →±∞

= − = +−=


+−
= = =
+ + ++ + + ++
3
3
2
3
lim 1.
69 3
1 11
x
xx
x
→±∞
= =
++ + ++
Получили уравнение наклонной асимптоты
1yx= +
.
8. Прежде чем строить график функции, целесообразно установить угол
α
, под которым кривая пересекает ось абсцисс в точках
2
3x = −
и
3
0x =
.
В этих точках
tgy
′
= α=∞
и
2
π
α=
. Так как в точке
3
0x =
функция дости-
гает нулевого минимума, то ее график не расположен ниже оси Ох в
окрестности этой точки. Точка
3
0x =
является точкой возврата графика
функции.
9. По результатам исследования строим график функции (рис. 42). 
      f ′′( x) > 0  при      x ∈ (−∞; − 3) , кривая   вогнута;    f ′′( x) < 0 при
     x ∈ (−3; 0) ∪ (0; + ∞) , кривая выпукла. Так как в окрестности точки x2 = −3
     вторая производная меняет знак, то М(–3; 0) является точкой перегиба.
     Точка x3 = 0 не является точкой перегиба, так как в ее окрестности знак
      f ′′( x) не меняется.
        7. Ищем наклонные асимптоты =
                                    y kx + b :
                                           3 x 2 ( x + 3)
                         f ( x)                                   3
         =    k     lim = lim                       = lim 3 1=  +   1
                  x →±∞ x        x →±∞            x       x →±∞   x
=b   lim ( f (=
              x) − kx )   lim  3 x 2 ( x +=3) − x 
   x →±∞                x →±∞                        
                          x 2 ( x + 3) − x3                                     3x 2
         =lim                                            =lim
        x →±∞ 3 x 4 ( x + 3) 2 + x 3 x 2 ( x + 3) + x 2 x →±∞ 3 x 4 ( x + 3) 2 + x 3 x 2 ( x + 3) + x 2


                         3
            =lim                  1.
           x →±∞    6 9 3     3
                 31+ +    + 1+ +1
                    x x2      x
                    Получили уравнение наклонной асимптоты y= x + 1 .
        8. Прежде чем строить график функции, целесообразно установить угол
     α , под которым кривая пересекает ось абсцисс в точках x2 = −3 и x3 = 0 .
                                       π
     В этих точках y ′ = tg α = ∞ и α = . Так как в точке x3 = 0 функция дости-
                                       2
     гает нулевого минимума, то ее график не расположен ниже оси Ох в
     окрестности этой точки. Точка x3 = 0 является точкой возврата графика
     функции.
        9. По результатам исследования строим график функции (рис. 42).




                                                  119

Страницы