Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

118
Пример 3.
2
3
( 3)y xx= +
.
Решение.
1. Данная функция определена для всех
xR∈
.
2. Функция не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.
3. График функции пересекает ось
Ox
при
3x = −
и
0x =
, а ось
Oy
-
при у = 0. Координаты точек пересечения (0; 0) и (
−
3; 0).
4. Функция не является четной, нечетной или периодической.
5. Находим производную функции
3213 32232
2
3
() ( 3) ( 3) 3 6
3
( 3)
x
fxxx xx xx
xx
−
+
′
′
= + = + ⋅ +=
+
.
1
() 0 при 2fx x
′
= = −
и не существует в точках
23
3, 0xx=−=
. Эти точ-
ки разбивают всю область определения функции на интервалы
(–
∞
; –3), (– 3; –2), ( –2; 0), (0; +
∞
). Внутри каждого из полученных ин-
тервалов сохраняется знак производной.
3
max
4y =
,
min
(0) 0yy= =
. В точке
2
3x = −
функция не имеет экстрему-
ма, так как в ее окрестности
()fx
′
не меняет знака.
6. Находим вторую производную:
2 45
33
22
()
( 3) ( 3)
x
fx
xx x x
′

+

′′
= = −

++

.
() 0fx
′′
≠
для любого конечного х. Поэтому точками перегиба могут быть
только те точки кривой, в которых вторая производная не существует, т. е.
23
3 и0xx=−=
. Определим знак у" в каждом из интервалов, на которые
найденные точки разбивают область определения функции:
+ + – +
y
′
y
–3 –2 0
max min
3−
0
y
′′
y
+
−
−
             3 . y 3 x 2 ( x + 3) .
      Пример =
      Решение.
  1. Данная функция определена для всех x ∈ R .
  2. Функция не имеет точек разрыва и вертикальных асимптот.
  3. График функции пересекает ось Ox при x = −3 и x = 0 , а ось Oy -
при у = 0. Координаты точек пересечения (0; 0) и ( − 3; 0).
  4. Функция не является четной, нечетной или периодической.
  5. Находим производную функции

          (                ) ′ 1
  f ′( x) = ( x3 + 3 x 2 )1 3 = ( x3 + 3 x 2 )−2 3 ⋅ 3 x 2 + 6 x =
                               3
                                                                   (  x+2
                                                                               )
                                                                   3 x( x + 3) 2
                                                                                 .

 f ′( x) = 0 при x1 = −2 и не существует в точках x2 =      −3, x3 =0 . Эти точ-
ки разбивают всю область определения функции на интервалы
(– ∞ ; –3), (– 3; –2), ( –2; 0), (0; + ∞ ). Внутри каждого из полученных ин-
тервалов сохраняется знак производной.
                               +                 +             –         + y′
                                   –3                –2            0           y
                                                     max           min


 ymax = 3 4 , ymin
                = y=   (0) 0 . В точке x2 = −3 функция не имеет экстрему-
ма, так как в ее окрестности f ′( x) не меняет знака.
   6. Находим вторую производную:
                                                ′
                                       x  + 2                  2
                       f ′′( x) =                = −                 .
                                   3 x( x + 3)2      3 x 4 ( x + 3)5
                                                
 f ′′( x) ≠ 0 для любого конечного х. Поэтому точками перегиба могут быть
только те точки кривой, в которых вторая производная не существует, т. е.
x2 =    −3 и x3 =  0 . Определим знак у" в каждом из интервалов, на которые
найденные точки разбивают область определения функции:

                                        +            −             −       y ′′
                                            −3             0
                                                                           y




                                                         118

Страницы