Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

120
161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
( ) 2sin cos2fx x x
= +
на отрезке
[0; 2]π
.
Р е ш е н и е.
Находим критические точки функции из условия
() 0fx
′
=
.
( ) 2cos 2sin 2 0fx x x
′
=−=
. Решаем полученное уравнение:
2cos 4sin cos 0 2cos (1 2sin ) 0 2cos 0 или 2sin 1x xx x x x x− =⇒ − =⇒= =
.
cos 0 ,
2
x x nn Z
π
= ⇒ = +π ∈
.
1
sin ( 1) ,
26
n
x x nn Z
π
= ⇒ = − +π ∈
.
Из всех найденных критических точек только
и
2
x
π
=
принадлежат
отрезку
[0; 2]π
. Вычислим значения данной функции при
0, ,
6
xx
π
= =
2
x
π
=
:
1
(0) 1; 2sin cos 1 1,5;
6 6 32
ff
π ππ

= = + =+=


2sin cos 2 1 1
22
f
ππ

= + π= − =


.
Следовательно,
1, 5; (0) 1
62
наиб наим
f f f ff
ππ
 
= = = = =
 
 
.
171-180. Решить задачу.
Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кру-
гового конуса заданной вместимости V= 14,14 м
3
(
9
2
V ≈π
). Каковы
1yx= +
3
4
Рис. 42 
                                        34




                         y= x + 1



                                    Рис. 42

   161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f ( x) 2sin x + cos 2 x на отрезке [0; π 2] .
=
          Р е ш е н и е. Находим критические точки функции из условия
f ′( x) = 0 . f ′( x) =2cos x − 2sin 2 x =0 . Решаем полученное уравнение:
2cos x − 4sin x cos x =
                      0 ⇒ 2cos x(1 − 2sin x) =          0 или 2sin x =
                                             0 ⇒ 2cos x =            1.
                π                        1           π
cos x = 0 ⇒ x =    + πn, n ∈ Z . sin x = ⇒ x = (−1)n + πn, n ∈ Z .
                2                        2           6
                                                     π      π
Из всех найденных критических точек только x =         и x=    принадлежат
                                                     6      2
                                                                      π
отрезку [0; π 2] . Вычислим значения данной функции при=      x 0,=x    ,
                                                                      6
       π
  x= :
       2
             π        π       π       1       π       π
 f (0) =1; f   =2sin + cos =1 + =1,5; f   = 2sin + cos π = 2 − 1= 1.
             6        6        3      2       2       2
                             π                        π
Следовательно, f=  наиб     f=
                               1,5; f=   наим =
                                                f (0) f=  1.
                             6                        2
        171-180. Решить задачу.
 Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кру-
                                                         9
гового конуса заданной вместимости V= 14,14 м3 ( V ≈ π ). Каковы
                                                         2

                                     120

Страницы