Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

122
Неопределённый интеграл
Функция
()Fx
называется первообразной для функции
()fx
, если
() ()Fx fx
′
=
. Всякая функция вида
()Fx
+С, где С – произвольная посто-
янная, также является первообразной для
()fx
, т.к. (
()Fx
+С)′=
()fx
. Со-
вокупность всех первообразных для функции
()fx
называется неопреде-
лённым интегралом и записывается в виде
() ()f x dx F x C= +
∫
,
где
()fx
– подынтегральная функция, С – произвольная постоянная.
Таблица неопределённых интегралов
1)
dx x C= +
∫
; 2)
1
,1
1
n
n
x
x dx C n
n
+
= + ≠−
+
∫
;
2а)
2
dx
xC
x
= +
∫
; 2б)
2
C
x
∫
;
3)
ln
dx
xC
x
= +
∫
;
4)
, ( 0; 1)
ln
x
x
a
a dx C a a
a
=+ >≠
∫
; 5)
xx
e dx e C= +
∫
;
6)
sin cosxdx x C=−+
∫
; 7)
cos sinxdx x C= +
∫
;
8)
2
ctg
sin
dx
xC
x
=−+
∫
; 9)
2
tg
cos
dx
xC
x
= +
∫
;
10)
22
1
arctg
dx x
C
aa
xa
= +
+
∫
;
11)
22
11
ln ln
22
dx x a x a
CC
a xa a xa
xa
−+
= +=− +
+−
−
∫
;
12)
22
arcsin
dx x
C
a
ax
= +
−
∫
;
13)
22
22
ln
dx
x xa C
xa
= + ±+
±
∫
;
14)
1
ln tg ln ctg
sin 2 sin
dx x
C xC
xx
= += − +
∫
; 
                              Неопределённый интеграл
        Функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) , если
F ′( x) = f ( x) . Всякая функция вида F ( x) +С, где С – произвольная посто-
янная, также является первообразной для f ( x) , т.к. ( F ( x) +С)′= f ( x) . Со-
вокупность всех первообразных для функции f ( x) называется неопреде-
лённым интегралом и записывается в виде
                                           ∫ f ( x=
                                                  )dx   F ( x) + C ,
где f ( x) – подынтегральная функция, С – произвольная постоянная.
                                 Таблица неопределённых интегралов
                                                                     x n +1
               ∫ dx=                                      2) ∫ x=
                                                                  n
          1)                  x +C;                              dx         + C , n ≠ −1;
                                                                     n +1
                 dx                                             dx    1
          2а)   ∫ x 2 x +C;
                 =                                        2б) ∫
                                                                x2
                                                                   =− +C;
                                                                      x
                   dx
               ∫
          3) = ln x + C ;
                    x
                       ax
          4) ∫ a dx =                                                  ∫e
                                                                            x
                        x
                           + C , (a > 0; a ≠ 1) ;                 5)             = ex + C ;
                                                                                dx
                      ln a
               ∫
          6) sin x dx =
                      − cos x + C ;                               7)   ∫ cos x=
                                                                              dx      sin x + C ;
                        dx                                                  dx
          8)   ∫ sin 2 x =
                         − ctg x + C ;                            9)   ∫ cos2=
                                                                             x
                                                                                     tg x + C ;

                   dx   1       x
          10) ∫ x2 + a2 a
                =         arctg
                                a
                                  +C;

                   dx   1     x−a         1  x+a
          11) ∫        = ln         +C =− ln       +C;
                 2
                x −a  2 2a    x + a      2 a x − a
                               dx             x
          12)       ∫         = arcsin + C ;
                                              a
                             a2 − x2
                              dx
         13)    ∫                    = ln x + x 2 ± a 2 + C ;
                            x2 ± a2
                        dx               x         1
         14)    ∫ sin=x
                                 ln tg
                                         2
                                           +=
                                            C ln
                                                 sin x
                                                       − ctg x + C ;



                                                    122

Страницы