Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 124 стр.

                         dx              x π          1
              15)   ∫ cos
                       =
                          x
                                  ln tg  +  =
                                        2 4
                                               + C ln
                                                      cos x
                                                            + tg x + C .


                          Основные свойства неопределённого интеграла

    1.   ∫ f ′( x)=
                  dx ∫ df =
                          ( x)           f ( x) + C ;     d ∫ f ( x)=
                                                                    dx d ( F ( x) + =
                                                                                    C ) f ( x)dx ;


    2. ∫ ( f1 ( x) ± f2 ( x) ) dx = ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f2 ( x)dx ;
    3. ∫ kf ( x)dx k=
    =                   ∫ f ( x)dx, k const ;
    4. Если ∫ f ( x=  )dx F ( x) + C и u = ϕ( x) , то ∫ f (u=   )du                F (u ) + C .
                                                        1
         В частности,            ∫ f (ax + b)=
                                             dx
                                                        a
                                                          F (ax + b) + C .


                          Основные методы интегрирования функций.

    1.1 Интегрирование путём подведения под знак дифференциала.
        Свойство 4) значительно расширяет таблицу простейших интегра-
лов, а именно, в силу этого правила таблица интегралов оказывается спра-
ведливой независимо от того, является переменная интегрирования неза-
висимой переменной или дифференцируемой функцией. Прежде, чем ис-
пользовать тот или иной табличный интеграл, приводим данный интеграл
к виду
                              ∫ f (ϕ( x)) ϕ′( x)dx =
                                                   ∫ f (u )du , где       u = ϕ( x) .
В связи с этим полезно отметить часто применяемые преобразования диф-
ференциалов, а именно:
                1                            1                    dx
      =1) dx      d (ax + b) , а≠0; 2) хdx = d ( x 2 ) ; 3)          = 2d ( х ) ;
                a                            2                     х
          dx
       4)     = d (ln x) ;                 5) e x dx = d (e x ) ;
           x
       6) sin x dx = −d (cos x) ;          7) cos x dx = d (sin x) ;
                    dx                                               dx
         8)               = d (tg x) ;                         9)           = −d (ctg x) ;
                     2                                                2
               cos x                                                sin x


                                                        123