Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

124
10)
2
(arcsin )
1
dx
dx
x
=
−
; 11)
2
(arctg )
1
dx
dx
x
=
+
.
Пример 1.
1 (1 3 ) 1 1
13 2
3 33
13 13
dx d x du
u x uC
xx u
−
=− = =− =− =− +=
−−
∫∫ ∫
2
13
3
xC=− −+
.
Пример 2.
2
2
2 22
32
2 5 1 (3 2) 5 ( 3 )
3
3
32 32 32
3
ux
х dx d x
dx dx
x xx
tx
= −
−−
=−==
− −−
=
∫∫ ∫
2
2
1 5 1 51 2 1
ln ln ln 3 2
33 3
3 322 2
2
du dt t
u Cx
u
t
t
−
= − = − ⋅ += −−
+
−
∫∫
5 32
ln
26 3 2
x
C
x
−
−+
+
.
Пример 3.
2 22
arcsin arcsin
arcsin (arcsin )
1 11
xx x x
dx dx dx xd x
x xx
+
=+= −
− −−
∫ ∫∫∫
2
2
1 (1 ) 1 1
2
2 2 22
1
d x dt u
udu t
t
tx
−
− = =− =−=
= −
−
∫ ∫∫
2
2
arcsin
1
2
x
xC= −− +
.
1.2 Интегрирование подстановкой.
Полагая
()xt= ϕ
, где t - новая переменная и ϕ - непрерывно диф-
ференцируемая функция, будем иметь
( )
( ) () ()f x dx f t t dt
′
= ϕϕ
∫∫
.
Функцию
()tϕ
стараются выбирать таким образом, чтобы интеграл, стоя-
щий в правой части приобрёл более удобный для интегрирования вид.
Пример 1. 
                     dx                                               dx
           10)                 = d (arcsin x) ;              11)            = d (arctg x) .
                    1− x   2                                       1 + x2

         Пример 1.
       dx      1 d (1 − 3 x)         1 du   1
    ∫ 1 − 3x =−3 ∫ 1 − 3x =u =−
                              1 3x =− ∫
                                     3 u
                                          =− 2 u +C =
                                            3
         2
     =− 1 − 3x + C .
         3
         Пример 2.
      2х − 5       1 d (3 x 2 − 2) 5 d ( 3 x)    =u 3x 2 − 2
    ∫ 3x 2 − 2 dx =
                   3 ∫ 3x2 − 2
                                  −  ∫  2
                                    3 3x − 2
                                              dx =           =
                                                  t = 3x
      1 du   5    dt   1     5   1    t− 2    1
=      ∫
      3 u
           −   ∫    = ln u −
              3 t2 − 2 3
                               ⋅   ln
                              3 2 2 t+ 2
                                           +=
                                            C
                                              3
                                                ln 3 x 2 − 2 −

          5         3x − 2
     −         ln          +C.
         2 6        3x + 2
           Пример 3.
      arcsin x + x        arcsin x         x
    ∫          2
                   dx = ∫
                                2
                                   dx + ∫
                                               2
                                                 dx = ∫ arcsin x d (arcsin x) −
         1− x              1− x           1− x
      1 d (1 − x 2 ) u = arcsin x         1 dt u 2 1
     − ∫            =          2  ∫ udu − 2 ∫ t =2 − 2 2 t =
                                  =
      2    1− x  2   t = 1 − x

         arcsin 2 x
=                   − 1 − x2 + C .
             2

                 1.2 Интегрирование подстановкой.
      Полагая x = ϕ(t ) , где t - новая переменная и ϕ - непрерывно диф-
ференцируемая функция, будем иметь
                                       ∫ f ( x)dx = ∫ f ( ϕ(t ) ) ϕ′(t ) dt .
Функцию ϕ(t ) стараются выбирать таким образом, чтобы интеграл, стоя-
щий в правой части приобрёл более удобный для интегрирования вид.
     Пример 1.


                                                       124

Страницы