Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

126
1.3 Интегрирование по частям
Если
()ux= ϕ
и
()vx= ψ
- дифференцируемые функции, то имеет
место формула интегрирования по частям:
udv uv vdu= −
∫∫
.
В интегралах вида:
() , ()sin , ()cos
ax
nn n
P x e dx P x axdx P x axdx
∫∫ ∫
,
где
()
n
Px
– многочлен, полагают
()
n
u Px=
.
Пример 1.
2
2
, (2 1)
( )cos2
1
cos2 , cos2 sin 2
2
u x x du x dx
x x xdx
dv xdx v xdx x
=+=+
+= =
= = =
∫
∫
2
2
1 1 ()
( ) sin 2 sin 2 (2 1) sin 2
22 2
xx
x x x x x dx x
+
= +⋅ − ⋅ + = −
∫
=
2
( ) 11 1
sin 2 (2 1)cos2 cos2 2
2 22 2
xx
x x x x dx
+

− − + −− ⋅ =


∫
=
22
() (21) 1 ()
sin 2 cos2 cos2 sin 2
2 42 2
xx x xx
x x xdx x
++ +
+ −= +
∫
+
2
(2 1) 1 (2 2 1) (2 1)
cos2 sin 2 sin 2 cos2
44 4 4
x xx x
x xC x xC
+ +− +
− += + +
.
В интегралах вида:
( )ln , ( )arcsin , ( )arctgP x xdx P x xdx P x xdx
∫∫ ∫
,
где
()Px
– степенная функция, полагают
lnux=
, либо
arcsinux=
, либо
arctgux=
.
Пример 2.
2
arcsin 2
14
xx
dx
x
=
−
∫
                            1.3 Интегрирование по частям
             Если u = ϕ( x) и v = ψ ( x) - дифференцируемые функции, то имеет
       место формула интегрирования по частям:
                                                   ∫ udv=   uv − ∫ vdu .

                 В интегралах вида: ∫ Pn ( x)eax dx,            ∫ Pn ( x)sin ax dx, ∫ Pn ( x)cos ax dx ,
       где Pn ( x) – многочлен, полагают u = Pn ( x) .
                 Пример 1.
                    u= x 2 + x, du =+(2 x 1)dx
∫ ( x + x)cos 2 xdx
     2
=                               =                1
                =   dv cos= 2 xdx, v ∫=cos 2 xdx   sin 2 x
                                                 2
                    1           1                        ( x 2 + x)
        = ( x + x) ⋅ sin 2 x − ∫ sin 2 x ⋅ (2 x + 1)dx =
             2
                                                                    sin 2 x −
                    2           2                             2

                                     u =+2 x 1, du =    2dx
        1
       − ∫ (2 x + 1)sin 2 xdx
       =                                     =            1
        2                            dv = sin 2 xdx, v = − cos 2 x
                                                          2
           ( x 2 + x)          1 1                       1              
       =              sin 2 x −  − (2 x + 1)cos 2 x − ∫ − cos 2 x ⋅ 2dx  =
                2              2 2                       2              
         ( x 2 + x)           (2 x + 1)          1             ( x 2 + x)
       =            sin 2 x +           cos 2 x − ∫ cos 2 xdx=            sin 2 x +
              2                   4              2                  2

         (2 x + 1)         1            (2 x 2 + 2 x − 1)           (2 x + 1)
       +           cos 2=
                        x − sin 2 x + C                   sin 2 x +           cos 2 x + C .
             4             4                    4                       4
                 В интегралах вида: ∫ P( x)ln x dx,             ∫ P( x)arcsin x dx, ∫ P( x)arctg x dx ,
       где P( x) – степенная функция, полагают u = ln x , либо u = arcsin x , либо
       u = arctg x .
                                    x arcsin 2 x
                 Пример 2.      ∫              2
                                                   dx =
                                      1 − 4x




                                                          126

Страницы