Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

128
где
1
,...
r
xx
- действительные корни (простые или кратные), а каждый квад-
ратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант, т.е.
2
40Dp q= −<
.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь
()
()
Px
Qx
, знамена-
тель которой разложен на множители
12 1
22
1 2 11
( ) ( ) ( ) ...( ) ...( )
s
l
kk l
n ss
Qx axx xx x pxq x pxq= − − ++ ++
,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей
суммы простейших дробей:
12
12
11
1
12 1 2
22
12
12
12
11 2 2
2 22
2
11 11
11
11 2 2
2 22
2
()
... ... ...
()
() ( )
() ( )
... ... ...
()
()
... ...
()
(
ss
kk
kk
ll
l
ll
ss ss
AB
AA B B
Px
Qx xx xx
xx xx
xx xx
Cx D
CxD CxD
x px q x px q
x px q
Mx N
MxN MxN
x px q x px q
x
= + ++ + + ++ +
−−
−−
−−
+
++
+ + ++ +
++ ++
++
+
++
+ + ++
++ ++
,
)
s
l
ss
px q++
где
12 12 11 11
, ..., , ..., , ..., , ...AA BB CD M N
- некоторые действительные коэф-
фициенты.
Неопределённые коэффициенты
12 12 11 11
, ..., , ..., , ..., , ...AA BB CD M N
находятся методом неопределённых коэффициентов. Суть этого метода
продемонстрируем на примерах.
Пример 1.
45
32
25
55
xxx
dx
x xx
+−
− −+
∫
.
Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь ,
которую представим в виде суммы многочлена и правильной рациональ-
ной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель по правилу «де-
ления углом», при этом числитель расположим в порядке убывания степе-
ней
:
Следовательно,
54
52
xx x−+ +
−
5 43 2
55x xx x−+ + −
32
52xxx−+ +
32
55x xx− −+
2
1x−−
−
32
55x xx− + +−
5x +
(остаток) 
где x1 ,... xr - действительные корни (простые или кратные), а каждый квад-
ратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант, т.е. D = p 2 − 4q < 0 .
                                                                                  P( x)
       Теорема. Всякую правильную рациональную дробь                                    , знамена-
                                                                                  Q( x)
тель которой разложен на множители
       Q( x) = an ( x − x1 )k1 ( x − x2 )k2 ...( x 2 + p1 x + q1 )l1 ...( x 2 + ps x + qs )ls ,
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей
суммы простейших дробей:
 P( x)  A1       A2                  Ak1        B1       B2                  Bk2
   =        +            + ... +             +      +            + ... +               + ...
Q( x) x − x1 ( x − x1 )2         ( x − x1 )k1 x − x2 ( x − x2 )2         ( x − x2 ) k2
                  C1 x + D1               C2 x + D2                     Cl1 x + Dl1
        ... +                     +                          + ... +                    + ...
                x 2 + p1 x + q1       ( x 2 + p1 x + q1 )2     ( x 2 + p1 x + q1 )l1
                M1 x + N1               M 2 x + N2                    M ls x + N ls
       ... +                      +                     + ... +                           ,
             x 2 + ps x + qs ( x 2 + ps x + qs ) 2               ( x 2 + p s x + q s )l s
где A1 , A2 ..., B1 , B2 ..., C1 , D1..., M1, N1... - некоторые действительные коэф-
фициенты.
     Неопределённые коэффициенты A1 , A2 ..., B1 , B2 ..., C1 , D1..., M1, N1...
находятся методом неопределённых коэффициентов. Суть этого метода
продемонстрируем на примерах.
                              2 x + 5 x 4 − x5
       Пример 1.          ∫ x3 − 5 x2 − x + 5 dx .
      Подынтегральная функция есть неправильная рациональная дробь ,
которую представим в виде суммы многочлена и правильной рациональ-
ной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель по правилу «де-
ления углом», при этом числитель расположим в порядке убывания степе-
ней x :

              − x5 + 5 x 4 +      2x                         x3 − 5 x 2 − x + 5
            −    5       4   3  2
              − x + 5x + x − 5x                                 − x2 − 1
                             − x3 + 5 x 2 + 2 x
                           −
                             − x3 + 5 x 2 + x − 5
                                                  x + 5 (остаток)
       Следовательно,

                                                  128

Страницы