Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

130
Для нахождения коэффициентов
,,,ABCD
приведём правую часть
к общему знаменателю
=
32
3
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
A х Вхx Сxx Dx
xx
++−++−++ −
−+
Приравняем числители исходной и полученной дробей, получим
32 3 2
3 9 10 2 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)
хх х Ах Вхx Сxx Dx+++=++−++−++ −
.
Подставляя вместо
x
значения корней знаменателя, получим:
при
1 24 8 3;õ ÀA= = ⇒=
при
1 2 2 1.õ DD=− −=− ⇒ =
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов В и С
применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем
коэффициенты при
3
x
и при
( или положим
0x =
) слева и справа от
знака равенства
3
0
3 3 0;
2 2 0.
х АВ В А
х АВСD C ABD
=+⇒=−=
=−−−⇒=−−−=
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
может быть представлена в виде
32
3
3 9 10 2
( 1)( 1)
xx x
xx
+++
−+
=
3
31
1
( 1)
x
x
+
−
+
и, следовательно,
32
3
3 9 10 2
( 1)( 1)
xx x
dx
xx
+++
−+
∫
=
3
31
( 1)
( 1)
dx dx
x
õ
+=
−
+
∫∫
2
1
3ln 1
2( 1)
xC
x
−− +
+
.
Пример 2.
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
dx
xxх
+ ++
+ ++
∫
.
Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла,
имеет действительный кратный корень
2x = −
(кратность которого
2k =
),
квадратный трёхчлен
2
23хх++
имеет
80D =−<
, поэтому разложение
дроби на простейшие имеет вид
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
xxх
+ ++
+ ++
=
22
2
( 2) 2 3
A B Mx N
x
x xx
+
++
+
+ ++
=
Приведём правую часть к общему знаменателю 
     Для нахождения коэффициентов A, B, C , D приведём правую часть
к общему знаменателю
           A( х + 1)3 + В( х − 1)( x + 1)2 + С ( x − 1)( x + 1) + D( x − 1)
       =
                            ( x − 1)( x + 1)3
           Приравняем числители исходной и полученной дробей, получим
3 х3 + 9 х 2 + 10 х + 2 = А( х + 1)3 + В( х − 1)( x + 1) 2 + С ( x − 1)( x + 1) + D( x − 1) .
           Подставляя вместо x значения корней знаменателя, получим:
                           при õ = 1 24 = 8 À ⇒ A = 3;
                                 при õ =−1          − 2 =−2 D ⇒ D =1.
      Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов В и С
применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем
коэффициенты при x3 и при x0 ( или положим x = 0 ) слева и справа от
знака равенства
                     х3 3 = А + В ⇒ В =3 − А =0;
                     х0    2 = А − В − С − D ⇒ C = A − B − D − 2 = 0.
     Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
может быть представлена в виде
3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2           3       1
                           =         +          и, следовательно,
     ( x − 1)( x + 1)3          x − 1 ( x + 1)3

    3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2                3               1                          1
∫                             dx = ∫            dx + ∫            dx =
                                                                     3ln x − 1 −             +C.
       ( x − 1)( x + 1)3               ( x − 1)        ( õ + 1) 3
                                                                                 2( x + 1) 2



                               2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10
           Пример 2.       ∫ ( x + 2)2 ( x2 + 2 х + 3) dx .
     Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла,
имеет действительный кратный корень x = −2 (кратность которого k = 2 ),
квадратный трёхчлен х 2 + 2 х + 3 имеет D =−8 < 0 , поэтому разложение
дроби на простейшие имеет вид
    2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10  A       B       Mx + N
                                =+         +              =
 ( x + 2)2 ( x 2 + 2 х + 3) x + 2 ( x + 2)2 x 2 + 2 x + 3
Приведём правую часть к общему знаменателю

                                                   130

Страницы