Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

132
=
2
1 ( 1)
ln 2 3 arctg
22
x
хх C
+
+ +− +
;
(=)
2
2 11
ln 2 3 arctg .
2
22
x
хх C
x
+
− + + +− +
+
1.5 Интегрирование тригонометрических функций
И н т е г р а л ы в и д а
sin cos
mn
x xdx
∫
.
1) Если m = 2к+1 – нечётное положительное число, то полагают
sin cos
mn
x xdx
∫
=
2
sin cos (cos )
kn
x xd x
−=
∫
=
2
(1 cos ) cos (cos ) cos
kn
x xd x x t−− = ==
∫
2
(1 )
kn
t t dt−−
∫
, т.е. ин-
теграл сводится к интегрированию степенной функции относительно
cos x
.
Аналогично поступают, если n – нечётное положительное число.
Пример 1.
cos sinx xdx
=
4 22
44
cos sin (cos ) cos (sin ) (cos )x xdx x xdx−⋅ =− =
∫∫
=
2 2 14 2 2
4
cos (1 cos ) (cos ) cos (1 )x x d x x t t t dt
− − ===−− =
∫∫
=
5 4 13 4 21 4
1 4 9 4 17 4
4 44
(2 ) 2
5 13 21
t tt
t t t dt C− − + =− + − +=
∫
=
4
54 2 4 5 2 4
24 2 24 2
2 2 cos cos cos
5 13 21 5 13 21

− − + +=− − + +


t t t C x x xC
.
Пример 2.
3
ctg 2xdx =
∫
=
32 2
33 3
cos 2 1 cos 2 (sin 2 ) 1 (1 sin 2 ) (sin 2 )
22
sin 2 sin 2 sin 2
x xdx xdx
dx
xx x
−
= = =
∫∫ ∫
=
22
3 332
1 (1 ) 1 1 1 1
sin 2
2 22 2
4
t dt dt t dt dt
xt
t
t ttt
−
== = − =−− =
∫ ∫∫ ∫
=
2
11
ln
2
4
tC
t
−− +
=
2
11
ln sin 2
2
4sin 2
xC
x
−− +
. 
                                  1        ( x + 1)
            = ln х 2 + 2 х + 3 −     arctg           +C;
                                   2           2
                     2                          1         x +1
            (=) −        + ln х 2 + 2 х + 3 −       arctg      + C.
                  x+2                            2          2

                 1.5 Интегрирование тригонометрических функций


                                                            ∫ sin
                                                                    m
                               Интегралы вида                           x cos n x dx .
             1) Если m = 2к+1 – нечётное положительное число, то полагают

            ∫ sin x cos x dx = − ∫ sin x cos x d (cos x) =
                 m        n                     2k     n


            = − ∫ (1 − cos 2 x)k cos n x d (cos x) = cos x =t = − ∫ (1 − t 2 )k t n dt , т.е. ин-
     теграл сводится к интегрированию степенной функции относительно cos x .
           Аналогично поступают, если n – нечётное положительное число.


                               ∫ 4 cos x ⋅ sin x dx =
                                                 5
            Пример 1.

     = − ∫ 4 cos x ⋅ sin 4 x d (cos x) =  − ∫ 4 cos x (sin 2 x) 2 d (cos x) =

     = − ∫ 4 cos x (1 − cos 2 x) 2 d (cos x) =   cos x =  t =   − ∫ t1 4 (1 − t 2 )2 dt =

                                   4t 5 4     4t13 4 4t 21 4
     = − ∫ (t − 2t
            14       94
                      +t      17 4
                           )dt = −         +2       −        +C =
                                     5          13     21
               2 4      2              4       2 4           2     
     = −2t 5 4  − t 2 + t 4  + C =  −2 cos5 x  − cos 2 x + cos 4 x  + C .
                5 13    21                      5 13         21    


                                ∫ ctg
                                        3
            Пример 2.                       2x dx =

   cos3 2 x     1 cos 2 2 x d (sin 2 x) 1 (1 − sin 2 2 x) d (sin 2 x)
=∫
                2∫                      2∫
=            dx =                           =
   sin 3 2 x            sin 3 2 x                  sin 3 2 x
                   1 (1 − t 2 )dt 1 dt 1 t 2 dt          1     1 dt
                   2∫                 ∫   3 2∫ 3            2 2∫ t
     = sin 2 x =t =              =         −         =−      −      =
                           3       2
                         t              t       t       4t
         1     1                 1         1
     =−      − ln t + C = −              − ln sin 2 x + C .
        4t 2 2               4sin 2 2 x 2

                                                      132

Страницы