Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

134
=arctg tg 1
2
x
C

++


.
2) Если
( sin , cos ) (sin ,cos )R x xR x x−− =
, то для приведения интегра-
ла к рациональному виду можно применить подстановку
tg xt=
, тогда
2
22
1
sin , cos ,
1
11
t dt
x x dx
t
tt
= = =
+
++
.
Пример 2.
2
1 3sin
dx
x+
∫
=
2
2
2 2 22 2
2
(1 )
1
(1 )(1 3 ) 1 4
13
1
+
+
= = =
+ ++ +
+
+
∫∫ ∫
dt
t dt dt
t
t t tt t
t
=
2
1 (2 ) 1 1
arctg2 arctg(2tg )
22 2
1 (2 )
dt
tC x C
t
= += +
+
∫
.
Но можно обойтись и без подстановки.
Пример 3
.
2 2 22
sin 3sin cos cos cos (tg 3tg 1)
dx dx
x xx x x x x
= =
+ − ⋅ +−
∫∫
=
(tg 3tg 1) 3 1 ( 3 2) 13 4
x x tt t
= = =
+ − +− + −
∫ ∫∫
=
1 3 2 13 2 1 2tg 3 13
ln ln
13 3 2 13 2 13 2tg 3 13
tx
C
tx
+ − +−
= +
+ + ++
.
Тема 10. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 5, §2-4. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 11.
Письменный Д.Т., часть 1, § 35-42, Баврин И.И., Матросов В.Л., § 9.6-9.10.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 10.
Разберите решения задач из данного пособия (стр. 73-82).
Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a, b] определена функция
()fx
. Разобьём отрезок
[a, b] на n частей точками
012
...
n
ax x x x b= < < << =
. На каждом интерва-
         x     
= arctg  tg + 1 + C .
         2 
       2) Если R(− sin x, − cos x) =
                                   R(sin x,cos x) , то для приведения интегра-
ла к рациональному виду можно применить подстановку tg x = t , тогда
                               t                     1           dt
            =sin x            =      , cos x        =      , dx        .
                                                                     2
                              1+ t 2
                                                    1+ t 2      1+ t
       Пример 2.
                     dt
       dx            + t2               (1 + t 2 )dt             dt
∫ 1 + 3sin 2 x ∫
              =    1=
                        t 2     ∫                 =
                                  (1 + t )(1 + t + 3t 2 )
                                        2         2          ∫=
                                                              1 + 4t 2
                 1+ 3
                      1+ t2
  1 d (2t )      1                  1
= ∫       =        arctg2=  t +C      arctg(2 tg x) + C .
  2 1 + (2t )2 2                    2
       Но можно обойтись и без подстановки.
       Пример 3.
                        dx                                dx
        ∫ sin 2 x + 3sin x cos x − cos2 x ∫ cos2 x ⋅ (tg 2 x + 3tg x − 1)
             =                             =

                   d (tg x)               dt                  dt
       =∫             =            ∫ t 2 + 3t − 1
                                     =              ∫ (t + 3 2)2 − 13 4
                                                             =
            (tg 2 x + 3tg x − 1)
         1    t + 3 2 − 13 2                1     2 tg x + 3 − 13
       = = ln                                  ln                 +C.
         13 t + 3 2 + 13 2                  13    2 tg x + 3 + 13

                   Тема 10. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

   Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 5, §2-4. Пискунов Н. С., часть 1, гл. 11.
   Письменный Д.Т., часть 1, § 35-42, Баврин И.И., Матросов В.Л., § 9.6-9.10.
   Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 1, гл. 10.
   Разберите решения задач из данного пособия (стр. 73-82).


                             Определённый интеграл
        Пусть на отрезке [a, b] определена функция f ( x) . Разобьём отрезок
[a, b] на n частей точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b . На каждом интерва-


                                              134

Страницы