Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

133
2) Если m и n – чётные положительные числа, то подынтегральное
выражение преобразуют с помощью формул
22
11 1
sin (1 cos2 ), cos (1 cos2 ), sin cos sin 2 .
22 2
x x x x xx x=− =+ ⋅=
Пример 3.
24
cos 3 sin 3x xdx
⋅=
∫
22
(cos3 sin3 ) sin 3x x xdx
=⋅=
∫
2
sin 6 1 cos6
42
xx
dx
−
⋅=
∫
22
1
(sin 6 sin 6 cos6 )
8
x x x dx= −⋅ =
∫
2
1 1 cos12 1
sin 6 (sin6 )
8 2 48
x
dx xd x
−
−=
∫∫
3
1 1 1 sin 6
cos12
16 16 48 3
x
dx xdx= − −⋅ =
∫∫
.
3) Если m и n – чётные числа, но одно из них отрицательное, то ин-
теграл сводится к интегралу от рациональной функции относительно
tg x
или
ctg x
.
Пример 4
.
23
4 22
11
(1 tg ) (tg ) tg tg
3
cos cos cos
dx dx
xd x x x C
x xx
= ⋅=+ =++
∫∫ ∫
.
И н т е г р а л ы в и д а
(sin ,cos )R x x dx
∫
.
1) С помощью подстановки
tg
2
x
t=
, откуда
2
2 22
21 2
sin , cos ,
1 11
t t dt
x x dx
t tt
−
= = =
+ ++
интеграл приводится к интегралу от рациональной функции относительно
переменной t.
Пример 1.
22
2 22
22 2
22
11
cos 2sin 3
1 2 1 4 33
23
11 1
dt dt
dx
tt
xx
t t tt t
tt t
++
= = =
++
− − + ++
++
++ +
∫∫ ∫
=
22 2
2
arctg( 1)
2 44 22 (1)1
dt dt dt
tC
tt tt t
= = = ++=
++ ++ + +
∫ ∫∫
         2) Если m и n – чётные положительные числа, то подынтегральное
  выражение преобразуют с помощью формул
           1                        1                              1
  sin 2 x = (1 − cos 2 x), cos 2 x = (1 + cos 2 x), sin x ⋅ cos x = sin 2 x.
            2                       2                              2
                       ∫ cos
                               2
       Пример 3.                   3 x ⋅ sin 4 3 x dx =

                                       sin 2 6 x 1 − cos6 x
  ∫ (cos3x ⋅ sin 3x) sin 3x dx =     ∫ 4 ⋅ 2 dx =
                   2    2
 =

  1                                       1 1 − cos12 x       1
= ∫ (sin 2 6 x − sin 2 6 x ⋅ cos6 x)dx
                                    =       ∫            dx −    ∫ sin 2 6 x d (sin 6 x) =
  8                                       8        2          48
    1         1            1 sin 3 6 x x sin12 x sin 3 6 x
   16 ∫
=       dx − ∫ cos12 x dx − ⋅      =      −        −       +C.
             16            48    3     16    192      144
        3) Если m и n – чётные числа, но одно из них отрицательное, то ин-
 теграл сводится к интегралу от рациональной функции относительно tg x
 или ctg x .
       Пример 4.
           dx       1      dx                                    1 3
       ∫ cos4 x ∫ cos2 x cos2 x ∫
                                          2
               =        ⋅      =  (1 + tg   x ) d (tg x ) =
                                                          tg x +   tg x + C .
                                                                 3


                       Интегралы вида              ∫ R(sin x,cos x) dx .
                                           x
       1) С помощью подстановки tg           = t , откуда
                                           2
                               2t              1 − t2             2dt
             =sin x             =   , cos x =         , dx
                           1 + t2              1 + t2           1 + t2
 интеграл приводится к интегралу от рациональной функции относительно
 переменной t.
        Пример 1.
                                  2dt                         2dt
           dx                    1 + t2                      1 + t2
 ∫ cos x + 2sin x + 3 ∫ 1 − t 2
 =                      =
                                       2t
                                                  ∫ 1 − t 2 + 4t + 3 + 3t 2
                                                    =
                                +2          +3
                        1 + t2       1 + t2                  1 + t2
         2dt            dt                 dt
 =∫           = ∫            = ∫               = arctg(t + 1) +=    C
       2              2                      2
    2t + 4t + 4      t + 2t + 2       (t + 1) + 1

                                           133

Страницы