Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

131
=
2 2 22
22
( 2)( 2 3) ( 2 3) ( 2) ( 2)
( 2) ( 2 3)
A
ххх Вхх Mxx Nx
x хх
+ + ++ + ++ + + +
+ ++
Приравняем числители исходной и полученной дробей
32 2 2
2 11 16 10 ( 2)( 2 3) ( 2 3)
х х х Aххх Вхх
+ + += + + ++ + ++
+
22
( 2) ( 2)Mx x N x++ +
.
При
2х = −
получим
63B=
, отсюда следует, что
2B =
.
Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов А, М и N
применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем
коэффициенты при
3
x
,
,
0
x
слева и справа от знака равенства
3
2
0
2;
11 4 4 4 4 9;
10 6 3 4 6 4 4.
х АM
x AB MN A MN
х АВ N АN
= +
=+++⇒++=
=++ ⇒+ =
Решая систему уравнений
2,
4( ) 9,
644
AM
AM N
AN
+=
+ +=
+=
найдём
1, 0, 2.NAM= = =
Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
может быть представлена в виде
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
xxх
+ ++
+ ++
=
22
2 21
( 2) 2 3
x
x xx
+
+
+ ++
и, следовательно,
32
22
2 11 16 10
( 2) ( 2 3)
xxx
dx
xxх
+ ++
+ ++
∫
=
22
2 21
( 2) 2 3
x
dx dx
x xx
+
+
+ ++
∫∫
(=)
2
22
2
( 2)
dx
х
x
= −
+
+
∫
;
22
22
2
2 3 ( 1) 2
2 1 2 21
23 23
(2 2) ( 2 3)
хх х
xx
dx dx
xx xx
x dx d x x
+ += + +
+ +−
= = =
++ ++
+ = ++
∫∫
2
2 22
(2 2) ( 2 3) 1 ( 1)
arctg
22
23(1)2 23
x dx dx d x x x
xx x xx
+ ++ +
=−= − =
++ + + ++
∫∫∫
     A( х + 2)( х 2 + 2 х + 3) + В( х 2 + 2 х + 3) + Mx( x + 2)2 + N ( x + 2)2
 =
                     ( x + 2)2 ( х 2 + 2 х + 3)
 Приравняем числители исходной и полученной дробей
           2 х3 + 11х 2 + 16 х + 10= A( х + 2)( х 2 + 2 х + 3) + В ( х 2 + 2 х + 3) +
                                         + Mx( x + 2)2 + N ( x + 2)2 .
      При х = −2 получим 6 = 3B , отсюда следует, что B = 2 .
      Для нахождения оставшихся неизвестными коэффициентов А, М и N
 применим метод неопределённых коэффициентов, для этого приравняем
 коэффициенты при x3 , x 2 , x0 слева и справа от знака равенства
                          х3 2= А + M ;
                          x 2 11 =4 A + B + 4 M + N ⇒ 4 A + 4 M + N =9;
                          х0 10 = 6 А + 3В + 4 N ⇒ 6 А + 4 N = 4.
                        A + M =   2,
                        
                                        9, найдём
Решая систему уравнений 4( A + M ) + N =
                        6 A + 4 N =
                                     4
=N 1,= A 0, = M 2.
      Таким образом, все коэффициенты найдены, и рациональная дробь
 может быть представлена в виде
                           2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10              2                2x + 1
                                                          =               +
                           ( x + 2)2 ( x 2 + 2 х + 3)         ( x + 2)2       x2 + 2 x + 3
 и, следовательно,
            2 x3 + 11x 2 + 16 x + 10                 2                     2x + 1
           ∫ ( x + 2)2 ( x2 + 2 х + 3) dx = ∫ ( x + 2)2 dx + ∫ x2 + 2 x + 3 dx (=)
       2                  2
  ∫ ( x + 2)2 dx =   −
                         х+2
                             ;

     2x + 1               х 2 + 2 х + 3 = ( х + 1)2 + 2                   2x + 2 − 1
  ∫=
   x2 + 2 x + 3
                dx                        =                          ∫=
                                                                      x2 + 2 x + 3
                                                                                   dx
                          (2 x + 2)dx= d ( x 2 + 2 x + 3)
                (2 x + 2) dx             dx              d ( x 2 + 2 x + 3)        1        ( x + 1)
           =∫                  −∫                   =∫                        −       arctg          =
                x2 + 2 x + 3        ( x + 1)2 + 2          x2 + 2 x + 3             2           2

                                                    131

Страницы