Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

129
45
2
32 32
25 5
1
55 55
xxx x
x
x xx x xx
+− +
=− −+
− −+ − −+
.
Для представления правильной дроби
32
5
55
x
x xx
+
− −+
в виде суммы
простейших дробей разложим её знаменатель на множители следующим
образом:
32 32 2 2
5 5 ( 5 ) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5)( 1)
( 5)( 1)( 1)
xxx xx x xx x x x
xxx
− −+= − −−= −−−=− −=
=−−+
Таким образом, правильную рациональную дробь можно представить
в виде суммы простейших дробей
5
( 5)( 1)( 1) 5 1 1
x ABC
xxx x x x
+
= ++=
−−+ − − +
Для нахождения коэффициентов
,,ABC
приведём правую часть к
общему знаменателю
( 1)( 1) ( 5)( 1) ( 5)( 1)
( 5)( 1)( 1)
Axx Bxx Cxx
xxx
− ++ − ++ − −
=
−−+
.
Приравняем числители исходной и полученной дробей, получим
5 ( 1)( 1) ( 5)( 1) ( 5)( 1)x Axx Bxx Cxx+= − ++ − ++ − −
. (9.1)
Подставляя в (9.1) поочерёдно значения
,
1=x
и
1= −x
, нахо-
дим значения коэффициентов
5
,
12
=A
3
,
4
= −B
1
3
=C
. Тогда
45
2
32
25 5 3 1
12 5 4 1 3 1
55
+−
=− −+ − + =
− −+
− −+
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
x x x dx dx dx
dx x dx dx
x xx
x xx
3
5 31
ln 5 ln 1 ln 5
3 12 4 3
=− −+ −− −+ + +
x
x x x xC
.
Пример 2 .
32
3
3 9 10 2
( 1)( 1)
xx x
dx
xx
+++
−+
∫
.
Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла,
имеет два корня: простой
1
1x =
и кратный
2
1x = −
(кратность которого
). Поэтому разложение дроби на простейшие имеет вид
32
3
3 9 10 2
( 1)( 1)
xx x
xx
+++
−+
=
23
11
( 1) ( 1)
A ВС D
xx
xx
++ +
−+
++
= 
                              2 x + 5 x 4 − x5                        x+5
                                                 =− x 2 − 1 +                        .
                          x3 − 5 x 2 − x + 5                    x3 − 5 x 2 − x + 5
                                                                     x+5
       Для представления правильной дроби                    в виде суммы
                                          x3 − 5 x 2 − x + 5
простейших дробей разложим её знаменатель на множители следующим
образом:
      x3 − 5 x 2 − x + 5 = ( x3 − 5 x 2 ) − ( x − 5) = x 2 ( x − 5) − ( x − 5) = ( x − 5)( x 2 − 1) =
      =( x − 5)( x − 1)( x + 1)
    Таким образом, правильную рациональную дробь можно представить
в виде суммы простейших дробей
                                  x+5                 A         B        C
                                                  =         +        +        =
                         ( x − 5)( x − 1)( x + 1) x − 5 x − 1 x + 1
      Для нахождения коэффициентов A, B, C приведём правую часть к
общему знаменателю
  A( x − 1)( x + 1) + B ( x − 5)( x + 1) + C ( x − 5)( x − 1)
=                                                             .
                    ( x − 5)( x − 1)( x + 1)
      Приравняем числители исходной и полученной дробей, получим
               x + 5= A( x − 1)( x + 1) + B ( x − 5)( x + 1) + C ( x − 5)( x − 1) . (9.1)
     Подставляя в (9.1) поочерёдно значения x = 5 , x = 1 и x = −1 , нахо-
                                 5       3       1
дим значения коэффициентов A = , B = − , C = . Тогда
                                12       4       3
           2 x + 5 x 4 − x5                                  5 dx    3 dx 1 dx
        ∫ x3 − 5 x2 − x + 5 dx =
                               −∫ x           dx − ∫ dx +
                                                            12 x − 5 4 x − 1 3 ∫ x + 1
                                                              ∫     − ∫
                                          2
                                                                            +          =

                                     x3     5         3          1
                                   =− − x + ln x − 5 − ln x − 1 + ln x + 5 + C .
                                     3     12         4          3
                              3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2
       Пример 2.          ∫
                       ( x − 1)( x + 1)3
                                         dx .

       Знаменатель рациональной дроби, стоящей под знаком интеграла,
имеет два корня: простой x1 = 1 и кратный x2 = −1 (кратность которого
k = 3 ). Поэтому разложение дроби на простейшие имеет вид
         3 x3 + 9 x 2 + 10 x + 2           A    В        С         D
                                     =        +     +         +          =
             ( x − 1)( x + 1)3           x − 1 x + 1 ( x + 1)2 ( x + 1)3


                                                  129

Страницы