Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

127
=
2
2
2
22 2
2
arcsin 2 ,
14
1 (1 4 ) 1
, 14
84
14 14 14
dx
u x du
x
xdx xdx d x
dv v x
xx x
= =
−
=
−
= = =− =−−
−− −
∫∫
=
22
2
1 12
arcsin 2 1 4 1 4
44
14
dx
xx x
x

⋅−− −−−⋅ =


−
∫
=
22
1 11
1 4 arcsin 2 1 4 arcsin 2
4 24 2
x
xxdx xxC−−⋅ + =−−⋅ ++
∫
.
Пример 3.
2
2
22
2
ln( 1),
1
ln( 1) ln( 1)
,
xdx
u x du
x
x dx x x
dv dx v dx x
=+=
+
+ = = +−
= = =
∫
∫
22
22
22 2
2 ( 1) 1
ln( 1) 2 ln( 1) 2
11 1
xdx x x
x x x dx x x dx
xx x
+−
− ⋅ = +− = +− =
++ +
∫∫∫
=
2
22
22
1
ln( 1) 2 2 ln( 1) 2 2 arctg
11
x dx
xx dx xx x xC
xx
+
+− + = +− + +
++
∫∫
.
1.4 Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональной функции после выделения целой ча-
сти сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
()
,
где ()и ()
()
Px
Px Qx
Qx
- многочлены, причём степень многочлена, стоящего
в числителе ниже степени многочлена, стоящего в знаменателе. Знамена-
тель правильной дроби может быть разложен на множители и представлен
в виде
( ) ( ) ...( ) ( ) ...( )
s
r
Qx axx xx x pxq x pxq= − − ++ ++
, 
                                        2dx
=   =
 u arcsin 2 x, du
                                      1 − 4 x2
     =                                                                                       =
               xdx          xdx      1 d (1 − 4 x 2 )   1
         dv =           ∫
                      ,v=          =
                                   −
                                     8 ∫              =
                                                      −
                                                        4
                                                          1 − 4 x2
             1 − 4 x2     1 − 4 x2        1 − 4 x2

                 1                    1              2dx
     = arcsin 2 x ⋅  − 1 − 4 x2  − ∫ − 1 − 4 x2 ⋅             =
                 4                    4             1 − 4x 2

        1                           1       1                         x
     =−   1 − 4 x 2 ⋅ arcsin 2 x + ∫ dx = −   1 − 4 x 2 ⋅ arcsin 2 x + + C .
        4                           2       4                         2

               Пример 3.
                                                  2 xdx
                            u= ln( x 2 + 1), du =
     ∫ ln( x                                     x 2 +=
               2                                       1 x ln( x 2 + 1) −
                   + 1)=
                       dx
                            =
                            dv dx, =    v ∫= dx x

               2 xdx                      x2                          ( x 2 + 1) − 1
     −∫ x ⋅       = x ln( x 2 + 1) − 2 ∫     =dx x ln( x 2 + 1) − 2 ∫              = dx
                2                         2                                 2
               x +1                      x +1                             x +1

                        x2 + 1                    dx
                            ∫x                ∫ x2 +=1
              2
     = x ln( x + 1) − 2        dx + 2                     x ln( x 2 + 1) − 2 x + 2arctg x + C .
                         2
                                 +1

                       1.4 Интегрирование рациональных функций.
             Интегрирование рациональной функции после выделения целой ча-
     сти сводится к интегрированию правильной рациональной дроби
      P( x)
            , где P( x) и Q( x) - многочлены, причём степень многочлена, стоящего
     Q( x)
     в числителе ниже степени многочлена, стоящего в знаменателе. Знамена-
     тель правильной дроби может быть разложен на множители и представлен
     в виде
               Q( x) = an ( x − x1 )k1 ...( x − xr )kr ( x 2 + p1 x + q1 )l1 ...( x 2 + ps x + qs )ls ,




                                                         127

Страницы