Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

125
2 2 42
1,
1 тогда 1 ( 1) 2 2 ( )
и2
tx
x x dx x t t t t dt t t dt
dx t dt
= −
− = =+= + ⋅ = + =
=
∫ ∫∫
53
53 3
22
2 2 2 2 2(3 2)
( 1) ( 1) ( 1)
5 3 5 3 15
x
t tC x x C x C
+
= + += − + − += − +
.
Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е п о д с т а н о в к и.
Пусть
0a >
, тогда:
1) Если интеграл содержит
22
ax−
, то полагают
sinxa t=
, тогда
22
cos , cosa x a t dx a t dt−= =
.
2) Если интеграл содержит
22
xa−
, то полагают
cos
a
x
t
=
, тогда
22
2
sin
tg , .
cos
at
x a a t dx dt
t
−= =
3) Если интеграл содержит
22
xa+
, то полагают
tgxat=
, тогда
.
Пример 2.
2
2
2
2
22
22
22 2 2
22
2, 2tg , 4 , ,
cos
cos
4
2
tg , cos , sin tg cos
2
44
2 2 sin cos
cos 4tg cos cos sin cos sin
dt
a x t x dx
t
t
x
dx
xx
x
t t ttt
xx
dt dt t t
dt
t t t tt tt
= = += =
+
= =
= = =⋅=
++
+
= ⋅= = =
⋅ ⋅⋅
∫
∫ ∫∫
22
cos 1 (sin ) 1 1
ln tg ln tg
cos cos cos sin
sin sin
dt t d t
dt t t
t t tt
tt
= + = ++ = +−=
∫∫ ∫
.
=
22
44
ln
2
xx x
C
x
++ +
−+
. 
                             =
                             t   x −1 ,

     ∫x    x − 1 dx = тогда x = t 2 + 1 = ∫ (t 2 + 1) t ⋅ 2t dt = 2 ∫ (t 4 + t 2 )dt =
                      и dx = 2t dt

                                          5               3
      2    2         2             2                2(3 x + 2)
    = t 5 + t 3 + C=   ( x − 1) 2 + ( x − 1) 2 + C=            ( x − 1)3 + C .
      5    3         5             3                   15

                  Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е п о д с т а н о в к и.
         Пусть a > 0 , тогда:
     1) Если интеграл содержит                a 2 − x 2 , то полагают x = a sin t , тогда

           a 2=
              − x 2 a cos=
                         t , dx a cos t dt .
                                                                                    a
     2) Если интеграл содержит                x 2 − a 2 , то полагают x =                , тогда
                                                                                   cos t
                                          a sin t
           x2 =
              − a 2 a tg t ,=
                            dx                      dt.
                                          cos 2 t
     3) Если интеграл содержит                x 2 + a 2 , то полагают x = a tg t , тогда
                        a           a
           x2 =
              + a2           =
                             , dx         dt .
                       cos t      cos 2 t
                   Пример 2.
                                                           2              2dt
                             a= 2, x= 2 tg t ,        x 2 + 4= , dx=          ,
                                                                            2
          x2 + 4                                         cos t         cos t
     ∫         2
                        dx   =
                                   x           2                                x
           x                 tg t = , cos t =        , sin t =tg t ⋅ cos t =
                                   2          x2 + 4                          x2 + 4
                    2 2dt                     dt            sin 2 t + cos 2 t
= ∫                 ⋅ =               ∫ cos t ⋅ sin
                                                =          ∫ cos t ⋅ sin 2=   dt
    cos t ⋅ 4 tg 2 t cos 2 t                        2
                                                      t                   t
            dt      cos t                  1     d (sin t )              1      1
     =   ∫ cos t ∫ sin 2 t
                +          dt = ln tg t +
                                          cos t ∫ sin 2 t
                                               +            = ln tg t +      −
                                                                        cos t sin t
                                                                                    =.


          x + x2 + 4               x2 + 4
     = ln            −                    +C.
              2                      x


                                                          125

Страницы