Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

135
ле
1
( ,)
ii
xx
−
возьмём произвольную точку
i
ξ
и составим сумму
1
()
n
ii
i
fx
=
ξ∆
∑
, где
1iii
xxx
−
∆= −
. Сумма, вида
1
()
n
ii
i
fx
=
ξ∆
∑
называется ин-
тегральной суммой, а её предел при
max 0
i
x∆→
, если он существует и
конечен, называется определённым интегралом от функции
()fx
в преде-
лах от a до b и обозначается
max 0
1
( ) lim ( )
i
b
n
ii
x
i
a
f x dx f x
∆→
=
= ξ∆
∑
∫
.
Функция
()fx
в этом случае называется интегрируемой на [a, b].
Пусть
()fx
непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует
неопределённый интеграл
и имеет место формула
() () () ()
b
b
a
a
f x dx F b F a F x=−=
∫
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
Если
() 0fx≥
на [a, b], то геометрически определённый интеграл
выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции
()у fx=
, осью Ох и прямыми
,x ax b= =
.
П р и м е р ы в ы ч и с л е н и я о п р е д е л ё н н ы х
и н т е г р а л о в
Пример 1.
6
22
23
9
dx
xx−
∫
. Заданный интеграл берётся с помощью тригоно-
метрической подстановки (см. 1.2)
cos
a
x
t
=
, где
3=a
. 
ле ( xi −1 , xi ) возьмём произвольную точку ξi и составим сумму
 n                                                           n
∑ f (ξi )∆xi , где ∆xi =    xi − xi −1 . Сумма, вида        ∑ f (ξi )∆xi   называется ин-
i =1                                                        i =1
тегральной суммой, а её предел при max ∆xi → 0 , если он существует и
конечен, называется определённым интегралом от функции f ( x) в преде-
лах от a до b и обозначается
                       b                              n
                   ∫ f ( x)dx
                   =                      lim
                                      max ∆xi → 0 i =1
                                                      ∑ f (ξi )∆xi .
                       a
       Функция f ( x) в этом случае называется интегрируемой на [a, b].
       Пусть f ( x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует
неопределённый интеграл            ∫ f ( x=
                                          )dx    F ( x) + C и имеет место формула
                               b                                       b
                               ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) = F ( x) a ,
                               a
которая называется формулой Ньютона-Лейбница.
      Если f ( x) ≥ 0 на [a, b], то геометрически определённый интеграл
выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком
функции у = f ( x) , осью Ох и прямыми = x a=, x b.

                  Примеры           вычисления определённых
                                      интегралов
       Пример 1.
        6
                  dx
        ∫     2    2
                           . Заданный интеграл берётся с помощью тригоно-
       2 3x       x −9
                                                   a
метрической подстановки (см. 1.2) x =                   , где a = 3 .
                                                  cos t




                                                135

Страницы