Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

136
2
2
3
6
2
2
22
6
23
3 3sin
,
cos
cos
9 3tg ,
3sin cos
çàì åí ÿåì ï ðåäåëû èí òåãðèðî âàí èÿ:
cos 9 3tg
9
3
2 3 cos
26
1
6 cos
23
π
π
= =
−=
⋅
= = =
⋅⋅
−
π
= ⇒ = ⇒=
π
= ⇒ = ⇒=
∫∫
t
x dx dt
t
t
xt
dx t t
dt
tt
xx
x tt
x tt
=
33 3
3
6
66 6
sin 1 sin cos 1 sin
cos
9tg 9 sin 9 9
t tt t
dt dt t dt
tt
ππ π
π
π
ππ π
⋅
= = = =
∫∫ ∫
=
1 1 3 1 31
(sin 3 sin 6) ( ) 0,04
9 92 2 8
−
π−π= −= =
.
Пример 2.
22
83
32
1, 1
11 1
2,
2
1
11
32
83
x t xt
xt
dx tdt
dx tdt
t
x
xt
xt
+= = −
++ +
=
= = =
−
+−
=⇒=
=⇒=
∫∫
=
33 3 3
22 2
22 2 2
11 1 1
22 2 2
1 1 11
tt t t t t
dt dt dt dt
t t tt
+ −++ − +
= = +=
− − −−
∫∫ ∫∫
=
3 3 3 33
2 2 2 22
( 1)( 1) 1 2 1
2 2 2 ( 1) 2 4
1 1 11
t t t t dt
dt dt t dt dt
t t tt
− + −+ −
+ = ++ + =
− − −−
∫ ∫ ∫ ∫∫
=
3
2
33
22
2
94
2 2 4ln 1 2 3 2 2 4ln 2 4ln1
2 22
t
t dt t


+ + + − = +− − ++ − =





∫
=
.
Пример 3. 
                                   3         3sin t
                   =x              =    , dx        dt
                                  cos t         2
                                             cos t

     6                         x2 − 9 =3tg t ,                     π3
     dx                                                                3sin t ⋅ cos 2 t
=∫ 2 2                      çàì åí ÿåì ï ðåäåëû =
                                                èí òåãðèðî âàí èÿ: =∫ cos2 t ⋅ 9 ⋅ 3tg t dt
2 3x x −9                                                          π6
                                                 3      π
                             x= 2 3 ⇒ cos t=       ⇒ t=
                                                2       6
                                              1     π
                             x = 6 ⇒ cos t = ⇒ t =
                                              2     3

     π3                    π3                        π3
             sin t     1        sin t ⋅ cos t    1                   sin t π 3
 =       ∫   =
             9 tg t
                    dt
                       9   ∫       sin t
                                        =     dt
                                                 9   ∫    =
                                                          cos t dt    =
                                                                       9 π6
     π6                    π6                        π6

     1                     1 3 1                         3 −1
 =     (sin π 3 − sin π 6)
                        = (   − =)                          = 0,04 .
     9                     9 2 2                          8
                                                         x + 1 = t2, x = t2 − 1
                                 8                                              3
                                   x +1 +1               dx = 2tdt ,              t +1
             Пример 2.           ∫ x
                                     =
                                     + 1 − 1
                                             dx
                                                         x = 3⇒ t = 2
                                                                      = ∫=
                                                                                  t −1
                                                                                       2tdt
                                 3                                              2
                                                          x = 8⇒t = 3
         3 2           3                         3                   3
      t +t           t2 − 1 + t + 1          t2 − 1          t +1
 = 2∫       dt = 2 ∫                dt = 2 ∫        dt + 2 ∫      dt =
       t −1              t −1                 t −1           t −1
         2             2                         2                   2
         3                        3                  3                   3       3
      (t − 1)(t + 1)          t −1+ 2                          t −1           dt
 = 2∫                dt + 2 ∫         dt = 2 ∫ (t + 1)dt + 2 ∫      dt + 4 ∫      =
          t −1                  t −1                           t −1          t −1
         2                        2                  2                   2       2
      t2   3 3                    3
                                       9    4    
 = 2  + t  + 2 ∫ dt + 4ln t − 1 = 2  + 3 − − 2  + 2 + 4ln 2 − 4ln1
                                                                     =
     2     2                          2   2    
                 2
                                    2

 = 9 + 4ln 2 = 9 + 4 ⋅ 0,693 = 11,77 .

             Пример 3.




                                                         136

Страницы