Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

138
Примеры. Вычислить несобственные интегралы или доказать их
расходимость.
1)
34
4 56 4
45 45
66
000
1 (2 1) 1
lim lim (2 1) (2 1)
88
(2 1) (2 1)
∞
−
→∞ →∞
+
= = + +=
++
∫∫∫
bb
bb
x dx d x
x dx
xx
=
51
1
1
44
66
4
6
0
1 (2 1) 1 (2 1) 6
lim lim lim (2 1)
51
8 88
1
66
−+
→∞ →∞ →∞
++
= = +=∞
−+
b
b bb
xb
b
, т.е. данный
интеграл расходится.
2)
22
2
00 0
1
lim lim
3 99
2
2 6 6 2( 3 3)
23
2 44
bb
bb
dx dx dx
x х xx
xx
∞
→∞ →∞
= = =
++ ++
+⋅ + − +
∫∫ ∫
=
2
0
0
3
2
1 11
2
lim lim arctg
22
33
33
2
24
→∞ →∞

+⋅


= =

++


∫
b
b
bb
x
dx
x
=
0
1 23
lim arctg
33
→∞
+
=
b
b
x
1 23 3 1
lim (arctg arctg ) ( )
23
3 3 33
→∞
+ ππ
− = −=
b
b
=
3
18
63
ππ
=
. Предел равен конечному числу, значит, интеграл сходится.
3)
(=)
При
2x =
знаменатель подынтегральной функции равен нулю,
следовательно, в этой точке функция имеет разрыв II рода. Поэтому задан-
ный интеграл является несобственным интегралом от неограниченной
функции.
(=)
22 2
22 2
6 32 32
00 0
00 0
13
lim lim lim
3
64 64 ( ) 64 ( )
x dx x dx x dx
xx x
−ε −ε −ε
ε→ ε→ ε→
= = =
−− −
∫∫ ∫
=
2
33 3
2
32
0 0 00
0
1 ( ) 1 1 (2 )
lim lim arcsin lim arcsin 0
3 3 83 8
64 ( )
−ε
−ε
ε→ ε→ ε→

−ε
= = −=


−

∫
dx x
x
        П р и м е р ы . Вычислить несобственные интегралы или доказать их
   расходимость.
                  ∞                             b                           b
                    x3dx           1 d (2 x 4 + 1) 1
             1) ∫ = lim ∫ =                           lim ∫ (2 x 4 + 1)−5 6 d=
                                                                             (2 x 4 + 1)
                      4     5 b →∞ 8 6     4     5 8 b →∞
                0 (2 x + 1)         0 (2 x + 1)
                 6
                                                          0
                              5                                1
                             − +1                                                    1
    1             (2 x 4 + 1) 6 b      1            (2b 4 + 1) 6   6
   = lim                              =lim                         =lim (2b 4 + 1) 6 =
                                                                                     ∞ , т.е. данный
    8 b→∞       5                    0 8 b →∞            1         8 b→∞
              − +1
                6                                        6
   интеграл расходится.

                  ∞                             b                                b
               dx                     dx             1             dx
    =2) ∫                 =
                          lim ∫                  lim ∫ =
             2           b →∞ 2( x 2 + 3 x + 3) b →∞ 2 x 2 + 2 ⋅ 3 x + 9 − 9 + 3
         0 2x + 6х + 6        0                        0
                                                                 2     4 4
                                             3
       b                                 x + ⋅2 b
                                  arctg 
 1            dx       1        1             2
= lim ∫
=                       = lim
 2 b→∞          2     2 b→∞ 3
       0 x+ 3 + 3
                                              3    0
              
             2   4            2

     1             2x + 3 b 1              2b + 3        3                           1 π π
   =     lim arctg         =    lim (arctg        − arctg = )                          ( − =)
      3 b→∞           3 0    3 b→∞            3           3                           3 2 3
        π         π 3
   =         =        .    Предел равен конечному числу, значит, интеграл сходится.
       6 3         18
                  2
                      x 2 dx
             3)   ∫            6
                                   (=)
                  0 64 − x
          При x = 2 знаменатель подынтегральной функции равен нулю,
   следовательно, в этой точке функция имеет разрыв II рода. Поэтому задан-
   ный интеграл является несобственным интегралом от неограниченной
   функции.
              2 −ε                       2 −ε                             2 −ε
               x 2 dx             x 2 dx           1    3 x 2 dx
       lim ∫
                       6 ε→ 0 ∫           3 2 ε→ 0 3 ∫
    =
   (=)                    = lim=
                         lim
       ε→ 0   64  −  x          64 −  ( x  )           64 − ( x3 )2
            0                 0                      0
         2 −ε                                                           
    1         d ( x3 )   1            x3 2−ε 1              (2 − ε)3
    3 ε→0 ∫ 64 − ( x3 )2 3 ε→0
   = lim =                   =
                           lim arcsin          lim      =
                                                     arcsin          − 0 
                                      8 0 3 ε→0              8         
                                                                         
           0

                                                         138

Страницы