Учебное пособие по высшей математике для студентов заочной формы обучения. Романова Л.Д - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

139
=
3
1 21
arcsin arcsin1
3 83
= =
6
π
, т.е. интеграл сходится.
П р и з н а к и с х о д и м о с т и н е с о б с т в е н н ы х
и н т е г р а л о в
1. Пусть для всех
xa≥
справедливо неравенство
0 () ()f x gx≤≤
.
Тогда: если интеграл
()
a
g x dx
∞
∫
сходится, то сходится и интеграл
()
a
f x dx
∞
∫
;
если интеграл
()
a
f x dx
∞
∫
расходится, то расходится и
()
a
g x dx
∞
∫
.
2. Пусть
()
lim
()
x
fx
A
gx
→∞
=
, где А – конечное число
0, то интегралы
()
a
f x dx
∞
∫
и
()
a
g x dx
∞
∫
сходятся или расходятся одновременно.
3. Если сходится
()
a
f x dx
∞
∫
, то сходится и
()
a
f x dx
∞
∫
(последний ин-
теграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне-
ние, обычно используют интеграл вида
1
p
a
dx
x
∞
∫
, который сходится при
1p >
и расходится при
1p ≤
.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
3
1
1x
dx
x
+∞
+
∫
.
При
x → +∞
имеем
32
3
1
1
1
x
x
x
x
x

+

+

=
∼
12
1
x
. Так как интеграл
12
1
1
dx
x
+∞
∫
расходится
( 1 2 1)p = <
, то и заданный интеграл также расходится.
Признаки сходимости несобственных интегралов от неограни-
ченных функций аналогичны признакам сходимости 1–3. 
 1       23 1         π
   = =
= arcsin      arcsin1   , т.е. интеграл сходится.
 3       8 3          6

               Признаки сходимости несобственных
                                   интегралов
      1. Пусть для всех x ≥ a справедливо неравенство 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) .
                       ∞                                                            ∞
Тогда: если интеграл    ∫ g ( x)dx сходится, то сходится и интеграл ∫ f ( x)dx ;
                        a                                                           a
                ∞                                               ∞
если интеграл   ∫ f ( x)dx расходится, то расходится и ∫ g ( x)dx .
                a                                               a
                     f ( x)
      2. Пусть lim          = A , где А – конечное число ≠ 0, то интегралы
                x →∞ g ( x)
∞           ∞
∫ f ( x)dx и ∫ g ( x)dx сходятся или расходятся одновременно.
a           a
                         ∞                                  ∞
      3. Если сходится      ∫   f ( x) dx , то сходится и   ∫ f ( x)dx (последний ин-
                            a                               a
теграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).

       На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне-
                                                 ∞
                                                     1
ние, обычно используют интеграл вида             ∫ x p dx , который сходится при
                                                 a
p > 1 и расходится при p ≤ 1 .
                                                                    +∞
                                                                         x +1
      П р и м е р . Исследовать на сходимость интеграл              ∫         3
                                                                                  dx .
                                                                    1     x
                                  1
                            x 1 +                            +∞
                   x +1           x     1                         1
При x → +∞ имеем          =           ∼     . Так как интеграл ∫      dx
                       3         32      12                        12
                     x         x        x                       1 x
расходится (=
            p 1 2 < 1) , то и заданный интеграл также расходится.
        Признаки сходимости несобственных интегралов от неограни-
ченных функций аналогичны признакам сходимости 1–3.

                                           139

Страницы